高中数学单元测试——第三章指数运算与指数函数（适中版02）

**基本信息** 聚焦高中数学第三章指数运算与指数函数核心内容，梯度设计合理，通过基础题与综合题结合，适配单元复习巩固与能力提升，体现数学思维与运算能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数运算、定义域、函数图象|基础巩固，考查抽象能力与几何直观| |多选题|2/12|指数式化简、函数奇偶性|辨析易错点，培养推理意识| |填空题|2/10|根式化简、不等式恒成立|知识迁移，体现应用意识| |解答题|3/48|指数运算求值、函数单调性证明、不等式求解|综合应用，如第13题结合奇偶性与单调性，发展逻辑推理与运算能力|

高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（本题5分）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 三、填空题 9．（本题5分）化简______． 10．（本题5分）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 11．（本题14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 12．（本题16分）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域． 13．（本题18分）已知函数的图象经过坐标原点． (1)求实数的值并判断的奇偶性； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2．（本题5分）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用进行求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 5．（本题5分）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 6．（本题5分）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 二、多选题 7．（本题6分）下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据根式的性质、指数幂的运算法则判断． 【详解】；； ，；， 故ABC均错，D正确， 故选：ABC． 8．（本题6分）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【答案】BCD 【分析】代入直接计算判断A；根据奇函数的定义判断B；根据，结合指数函数的单调性判断C；根据的单调性与奇偶性解不等式判断D. 【详解】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误； 对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确； 对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数，C选项正确； 对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数， 所以， 所以，即，显然恒成立 所以恒成立，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（本题5分）化简______． 【答案】 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 10．（本题5分）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意化为对任意恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式可得结果. 【详解】由，得， 令，因为，所以， 所以对任意恒成立， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用指数运算和根式运算法则得到答案； （2）由两边平方求出，再两边平方求出，最后代入求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，； 所以 12．（本题16分）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的性质求出各段函数的值域，即可求出函数在定义域上的值域； 【详解】（1）解：因为（且）且，所以，即，解得或（舍去）；所以 （2）解：因为，当时函数在定义域上单调递减，当时函数在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）解：当时，则， 当时，则，综上可得； 13．（本题18分）已知函数的图象经过坐标原点． (1)求实数的值并判断的奇偶性； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1)，奇函数 (2) 在上单调递增．         证明如下： 对于任意实数，不妨设， 则，     在上单调递增，， ，即， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）由代入求得；根据函数奇偶性定义判断； （2）根据函数单调性定义判断证明； （3）利用奇函数将不等式变形为，再根据单调性求解. 【详解】（1）因为的图象经过坐标原点，所以，解得.    所以，， 因为， 所以是奇函数. （2）略 （3）由，得， 即，所以，     解得或，即原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $