高中数学单元测试——第三章指数运算与指数函数（较易版01）

**基本信息** 高中数学第三章指数运算与指数函数单元复习卷（较易版），覆盖指数运算、函数定义域、图像与性质等核心知识点，通过基础巩固与能力提升梯度设计，适配单元复习学情，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数运算、定义域、函数图像|图像辨析题考查几何直观（数学眼光）| |多选题|2/12|指数幂运算、函数性质|结合选项设计考查推理意识（数学思维）| |填空题|2/10|恒等式化简、不等式恒成立|化简题强化运算能力（数学思维）| |解答题|3/48|化简求值、函数解析式与值域、奇偶性单调性及不等式|单调性证明题培养逻辑推理（数学思维）|

高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 4．（本题5分）如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B． C．当时， D．存在实数，使得为奇函数 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 10．（本题5分）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 11．（本题14分）化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. （1）求的值； （2）求函数的值域. 13．（本题18分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 2．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 3．（本题5分）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 4．（本题5分）如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及与轴的交点即可判断. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 5．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 6．（本题5分）已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂以及根式运算求解出正确选项. 【详解】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：ACD. 8．（本题6分）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B． C．当时， D．存在实数，使得为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据具体函数解析式的定义域、函数的单调性以及奇函数的性质逐项求解判断即可. 【详解】因为函数，， 所以该函数的定义域为，A正确； 因为，B正确； 因为是单调递增函数，所以为单调递减函数， 所以当时，有，化简得， 解得，C错误； 令，若它为奇函数，则满足， 所以，所以. 由B知，所以，所以. 所以存在实数，使得为奇函数，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，利用待定系数法计算即可. 【详解】根据题意，故. 故答案为： 10．（本题5分）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意化为对任意恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式可得结果. 【详解】由，得， 令，因为，所以， 所以对任意恒成立， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案. （2）由根式化成分数指数幂的形式，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式===. （2）原式===， 因为，， 所以原式==3. 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. （1）求的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据函数过点代入解析式，即可求得的值； （2）由（1）可得函数的解析式，结合函数的单调性与定义域求出函数的值域. 【详解】（1）∵函数的图象经过点 ∴，即 故的值为 （2）由（1）知 ∵，∴在上为减函数 又 ∴的值域为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及指数函数的性质与值域，属于基础题. 13．（本题18分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) 是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. (2) 在上单调递增.证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $