高中数学单元测试——第三章指数运算与指数函数（较难版02）

**基本信息** 高中数学第三章指数运算与指数函数较难版单元卷，覆盖指数运算、函数性质及应用，通过分层题型考查运算能力与逻辑推理，适配单元复习巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|指数运算、定义域、图像识别|结合图像考查几何直观（数学眼光）| |多选|2/12|运算正确性、函数奇偶性|辨析运算推理培养批判性思维（数学思维）| |填空|2/10|根式化简、恒成立问题|抽象代数变形提升符号意识（数学眼光）| |解答|3/48|运算求值、单调性证明、不等式求解|综合考查推理与应用，贴近高考逻辑推理要求（数学思维）|

高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 2．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 3．（本题5分）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 4．（本题5分）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 5．（本题5分）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数、指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为指数函数在定义域内为减函数， 所以， 因为幂函数在单调递增， 所以， 所以， 故选：D 6．（本题5分）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 二、多选题 7．（本题6分）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂以及根式运算求解出正确选项. 【详解】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：ACD. 8．（本题6分）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．是偶函数 B．的值域为 C．的图象关于原点对称 D．，且，恒成立 【答案】CD 【分析】利用函数的奇偶性判断AC；由指数函数的值域求解原函数的值域判断B；结合指数函数的单调性分类讨论判断D. 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称， 且，所以是奇函数，其图象关于原点对称， 所以A错误C正确； 对于B：因为，所以，即， 因为，所以，所以，故B错误； 对于D：当时，， 因为，所以，，所以， 所以； 当时，， 因为，所以，，所以， 所以； 综上，，且，恒成立，故D正确. 故选：CD 三、填空题 9．（本题5分）化简______． 【答案】 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 10．（本题5分）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 四、解答题 11．（本题14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用指数运算和根式运算法则得到答案； （2）由两边平方求出，再两边平方求出，最后代入求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，； 所以 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. （1）求的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据函数过点代入解析式，即可求得的值； （2）由（1）可得函数的解析式，结合函数的单调性与定义域求出函数的值域. 【详解】（1）∵函数的图象经过点 ∴，即 故的值为 （2）由（1）知 ∵，∴在上为减函数 又 ∴的值域为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及指数函数的性质与值域，属于基础题. 13．（本题18分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) 是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. (2) 在上单调递增.证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（本题5分）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 二、多选题 7．（本题6分）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，下面说法正确的有（    ） A．是偶函数 B．的值域为 C．的图象关于原点对称 D．，且，恒成立 三、填空题 9．（本题5分）化简______． 10．（本题5分）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 11．（本题14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. （1）求的值； （2）求函数的值域. 13．（本题18分）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $