第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义判断. 【解析】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 2.已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】根据解析式求函数值即可. 【解析】由， 所以， 故选；D 3.函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解. 【解析】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，所以，解得， 选项为函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件， 则是选项的真子集，所以符合题意. 故选：C 4.若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到的值，即得. 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 5.函数的图象是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用排除法可得结论. 【解析】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 6.函数值域为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用换元法和二次函数的性质即可求解. 【解析】，由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以，， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得最大值，最大值为， 则由二次函数的图象与性质知，函数的值域为， 即函数的值域为. 故选：D. 7.设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【解析】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 8.已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，求解不等式. 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（  ） A. 已知函数，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 【答案】AC 【分析】结合函数解析式，由函数有意义的条件，求函数定义域可求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解D. 【解析】对于A，函数，则， 有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A正确， 对于B, 对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误， 对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确， 对于D, 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误， 故选：AC 10.在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点（  ） A. 函数是偶函数 B. 存在常数m使得函数是奇函数 C. 函数有无数个零点 D. 对任意恒成立 【答案】ACD 【分析】据函数再结合奇偶性定义和函数零点的定义求解即可. 【解析】因为当，则，所以， 当，则，所以， 所以对， ， 所以函数是偶函数，故A正确； 因为， 所以， 所以， 所以不存在常数m使得函数是奇函数，故B错误； 由，即解得，即， 所以函数有无数个零点，故C正确； 当时，，所以； 当时，，所以， 所以对任意恒成立，故D正确. 故选：ACD 11.已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（  ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】令代入题设条件可判断A；令并结合奇偶性定义可判断C；令，利用单调性定义及奇函数性质判断B；利用奇函数、单调性解不等式求参数范围判断D. 【解析】令，则，A对； 令，则，即， 所以为奇函数，C对； 由时，则时， 令，则，故， 所以，即为上的减函数，B错； 令，且为奇函数，而，即， 所以，结合B易知在上也为减函数， 所以，可得，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数，则_____________ 【答案】35 【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案. 【解析】由于， 所以. 故答案为：35 13.已知偶函数在递减，则关于的不等式的解集为_________ 【答案】 【分析】根据偶函数的性质特点，先确定函数的单调性，结合不等式，得出或，解出不等式的解集即可. 【解析】因为函数为偶函数，且在递减， 所以在递增，且， 因为，所以或， 若，则，，解得， 若，则，，解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为： 14. 是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性的性质求出的解析式，作出函数的图象，数形结合可得结果. 【解析】∵是定义在上的奇函数，∴， ∴，得， 若，则，则， 所以 作出函数的图象，如图所示． 当时，， 由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【解析】（1）由题意知，且， ∴，∴. （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为 16.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并结合图象讨论方程的解的个数 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）设，则，由此可求的解析式，结合奇偶性可求时的解析式，则解析式可知； （2）根据的解析式作出图象；再根据的图象交点个数分析方程的解的个数. 【解析】（1）当时，，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以的解析式为. （2）的图象如下图所示： 因为“方程的解的个数”“的图象交点个数”， 在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示： 由图象可知，当时，的图象无交点，所以方程无解； 当或时，的图象有个交点，所以方程有个解； 当时，的图象有个交点，所以方程有个解； 当时，的图象有个交点，所以方程有个解； 综上所述，当时，方程无解；当或时，方程有个解； 当时，方程有个解；当时，方程有个解. 17.函数是定义在上的偶函数，且. （1）求的解析式及其值域； （2）求的值，并计算. 【答案】（1），；值域为. （2）；. 【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用可求得的值，由此可得出函数的解析式及定义域，然后利用不等式的基本性质可求得函数的值域； （2）代值可计算得出值，由偶函数的性质可得出，进而可求得的值. 【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 则，解得，则， 又因为，故， 所以，，即函数为偶函数， 所以，，，则，所以，， 则，所以，， 所以，函数的值域为. （2）， 因为函数为偶函数，则， 因此， . 18.已知函数是定义在上的奇函数.且. （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3） 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及的值求得； （2）利用函数单调性的定义证得的单调性； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 则． 又因为，则，解得， 经检验时，， 则是奇函数． 所以． （2），函数在上单调递增， 证明：任取． ， 因为，所以， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （3）函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，解得，所以的取值范围是． 19.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解； （1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解； （ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由 的对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【解析】（1）因为定义在上函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， ∴，得， 则令，得. （2）（ⅰ）因为函数图象关于点对称， 所以为奇函数， 所以 为奇函数， 所以，解得. （ⅱ）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 ， 由可知，，， 所以，即在上单调递增； ∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 对任意，总存在，使得成立知， 由的图象关于点对称，所以只需 ①当时，在上单调递增，由对称性知， 在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， 即，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， ∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3.函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4.若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A． B． C． D．2 5.函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6.函数值域为（  ） A. B. C. D. 7.设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8.已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（  ） A. 已知函数，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 10.在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点（  ） A. 函数是偶函数 B. 存在常数m使得函数是奇函数 C. 函数有无数个零点 D. 对任意恒成立 11.已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（  ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数，则_____________ 13.已知偶函数在递减，则关于的不等式的解集为_________ 14. 是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 16.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并结合图象讨论方程的解的个数 17.函数是定义在上的偶函数，且. （1）求的解析式及其值域； （2）求的值，并计算. 18.已知函数是定义在上的奇函数.且. （1）求实数，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求的取值范围. 19.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $