高中数学单元测试——第二章函数（适中版02）

**基本信息** 高中数学第二章函数单元复习卷，以基础巩固与能力提升为梯度，融合科技情境与创新概念，适配函数核心知识检测，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|定义域、函数相等、奇偶性|基础概念辨析，如第3题函数相等判断| |多选题|3题18分|函数关系、奇函数性质|多维度能力考查，如第10题奇函数性质辨析| |填空题|3题15分|单调性参数范围、存在性问题|抽象思维训练，如第13题单调递增求a范围| |解答题|5题77分|奇偶性应用、分段函数、实际利润、创新函数定义|综合应用与创新，如17题机器人利润模型（科技情境）、19题“友谊函数对”（创新概念），培养逻辑推理与应用意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 7．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 11．（本题6分）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，且，则______． 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 14．（本题5分）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 16．（本题15分）已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. (1)在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)结合图象写出的解析式. 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，可得函数的定义域. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解． 【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，. 故选：A． 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断. 【详解】因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故CD错误； 因为当时，，故A错误，B正确； 故选：B 6．（本题5分）已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合函数的图象、值域的定义进行求解即可. 【详解】，函数图象如下： 由二次函数的性质，结合函数的图象可知： 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时有， 当时，函数单调递增，此时有， 而，， 因为该函数区间上的值域为， 所以要想有最大值，只需最小，最大，即时， 有最大值， 故选：C 7．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 10．（本题6分）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 则在上为增函数，故B错误； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 又在上有最小值，所以在上有最大值，故C正确； 对于D：因为是定义在上的奇函数，则，都有，故D错误. 故选：AC 11．（本题6分）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，且，则______． 【答案】11 【分析】由，可得，从而可求出的值 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 故答案为：11 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【分析】分析可知函数的值域为，根据题意可得有解，运算求解即可. 【详解】因为，故函数的值域为. 若存在，使得成立，即， 则，即有解，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的性质即可求解； （2）利用函数的奇偶性求函数的解析式即可； （3）由（2）知当时，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 又当时，， 所以； （2）当时，， 当时，，有， 又为奇函数，所以， 所以， 即当时，； （3）由（2）知，当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当当时，函数的最小值为. 16．（本题15分）已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. (1)在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)结合图象写出的解析式. 【答案】(1)，减区间为、，增区间为 (2) 【分析】（1）化简函数的解析式，可作出函数的图象，结合图象可得出函数的增区间和减区间； （2）由（1）可得出函数的解析式. 【详解】（1）令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 故，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的减区间为、，增区间为. （2）由（1）可得. 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)互为“友谊函数对”，理由见如下： 因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. (2) 若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． (3)存在， 【分析】（1）根据“友谊函数对”的定义进行计算判断即可. （2）根据反证法证明结论. （3）设，然后根据“友谊函数对”的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $