高中数学单元测试——第二章函数（较易版01）

**基本信息** 高中数学第二章函数单元复习卷（较易版），通过基础巩固与综合应用梯度设计，覆盖函数定义域、奇偶性等核心知识，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、函数同一性关系、图像识别|基础概念辨析，落实数学抽象| |多选题|3/18|函数性质（奇偶性、单调性）、函数关系判断|多角度考查，培养逻辑推理| |填空题|3/15|分段函数求值、单调性参数范围|简洁设问，强化数学运算| |解答题|5/77|偶函数解析式与最值、实际利润模型、创新函数定义（友谊函数对）|综合应用与创新情境，体现数学建模与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 11．（本题6分）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 16．（本题15分）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】自变量代入解析式求函数值. 【详解】由已知. 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（），利用两边恒等求出即可得结果． 【详解】设，（） ∴， 即， 所以，解得，， ∴，故选B． 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断. 【详解】因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故CD错误； 因为当时，，故A错误，B正确； 故选：B 6．（本题5分）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得正确答案. 【详解】依题意，是偶函数， 在上单调递增，在上单调递减， ， 由，得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的定义结合图像逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，A正确； 对于B，，2 在中找不到元素与之对应，不符合函数的定义，B错误； 对于C，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，C正确； 对于D，中有的元素在中对应两个值，不符合函数的定义，D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【答案】BC 【分析】由偶函数的性质和图像逐一判断即可； 【详解】易知函数的定义域为R，且，所以是偶函数，故A正确，B错误； 当时，，此时单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下：    由图像可得在上是增函数，在上是减函数，故C错误，D正确； 故选：BC. 11．（本题6分）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 【答案】ABD 【分析】选项A和B，利用函数解析式，代入求解即可，选项C，利用分段函数、一次、二次函数的性质，即可求解；选项D，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则，得到，满足题意， 若，则，即， 又，所以无解，故选项B正确， 对于选项C，当时，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误， 对于选项D，的图象如图， 由，得到，由，得到，解得， 由，得到，由，得到，解得或， 又时，， 由图知，当，或，或，时，满足题意， 所以的最小值为，最大值为，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据解析式，代入得，即可求解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，四种情况，进行讨论，结合函数单调性进行求解，得到答案. 【详解】当时，，由得， 故，， 由于在上单调递减，且， 故，所以； 当时，，由得， 故，， 由于在上单调递增，且， 故，所以； 当时，，由得， 故对恒成立，故满足要求； 当时，，同理可得满足要求； 综上，. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)在,上的最大值是，最小值是． 【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，结合函数为偶函数，分析可得答案； （2）由（1）的结论可得函数的解析式，分析其在,的单调性，进而分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，设，则，则， 又由为偶函数，则 （2）由（1）的结论：， 在,上单调递增，在,上单调递减， 则；， 函数在,上的最大值是，最小值是． 16．（本题15分）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)5 (2) (3)减区间为，增区间为；值域为 【分析】（1）先求，再求可得答案； （2）分段作出图象即可； （3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域． 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）草图如下： （3）由图可知，减区间为，增区间为； 当时，；当时，为减函数， 所以； 当时，为增函数， 所以； 所以的值域为． 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)互为“友谊函数对”，理由见如下： 因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. (2) 若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． (3)存在， 【分析】（1）根据“友谊函数对”的定义进行计算判断即可. （2）根据反证法证明结论. （3）设，然后根据“友谊函数对”的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $