高中数学单元测试——第二章函数（较易版02）

**基本信息** 高中数学第二章函数单元复习卷（较易版），覆盖函数定义、定义域、奇偶性等核心知识点，通过基础巩固与应用拓展结合，适配单元复习需求，助力学生发展抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义、定义域、解析式|基础概念辨析，如同一函数判断| |多选题|3/18|函数关系、奇偶性|多选项设计，考查逻辑推理| |填空题|3/15|分段函数、单调性|简洁设问，强化基础应用| |解答题|5/67|奇函数解析式、利润建模|综合应用题（如医疗器械利润），体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第二章 函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】由，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（），利用两边恒等求出即可得结果． 【详解】设，（） ∴， 即， 所以，解得，， ∴，故选B． 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断. 【详解】因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故CD错误； 因为当时，，故A错误，B正确； 故选：B 6．（本题5分）函数，的值域区间长度为，则b的值为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用分类讨论法，结合对勾函数的值域来求其倒数函数的值域，即可求出b值 【详解】当时，由， 根据b的四个值都为正数，故只需要分析情形， 从而根据对勾函数的值域可知， 又根据值域区间长度为，故可知道， 则：， 又因为当时，，所以， 再根据值域区间长度为，可得，可得. 故选：A. 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性并根据不等式分类讨论，进而求解. 【详解】由题意知在上单调递减，且， 由或， 即或， 解得或， 故选：D. 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的定义结合图像逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，A正确； 对于B，，2 在中找不到元素与之对应，不符合函数的定义，B错误； 对于C，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，C正确； 对于D，中有的元素在中对应两个值，不符合函数的定义，D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 11．（本题6分）已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分三种情况讨论，化简函数的解析式，分析函数的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，，所以，解得； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以，整理可得， 因为，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以， 整理可得，，解得或（舍去）． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：AD． 三、填空题 12．（本题5分）设，若，则___________． 【答案】2 【分析】直接代入求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围___________． 【答案】 【分析】由题意可知，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出，即可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知， 因为函数在上单调递增，故当时，， 当时，，则恒成立； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，则在上单调递减， 故当时，，则，解得，此时； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，则在上单调递增， 故当时，，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质求对称区间的解析式，及奇函数满足，即得答案； （2）求两个分段的二次函数值域，再求三段值域的并集即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 由题， 当， ， 所以， （2）在单调递增， 所以 在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数，的值域区间长度为，则b的值为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 11．（本题6分）已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）设，若，则___________． 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 14．（本题5分）已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围___________． 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $