第二章 函数 单元测试-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第二章　函数 考试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y＝x2－2x，x∈[－1,3]的值域为( ) A．[0,3] B．[－1,3] C．[－1,0] D．[1,3] 2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的为( ) A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| 3．已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 3 2 1 0 0 －1 －2 －3 则f[f(4)]＝( ) A．－1 B．－2 C．－3 D．3 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( ) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 5．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值是( ) A．－2 B．6 C．1 D．0 6．已知减函数f(x)＝－3x3－2x，若f(m－3)＋f(－2m)<0，则实数m的取值范围为( ) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) 7．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( ) 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1) C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( 　 ) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 10．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)( 　 ) A．最小值－1 B．最大值为7－2 C．无最小值 D．无最大值 11．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( 　 ) A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x) B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2) C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0 D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝＋的定义域是_ __. 13．已知函数f(x)＝(x＋a)(x－a2)是偶函数，则a的值为_ __. 14．设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为___；a的最大值为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并说明理由； (2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，并写出相应x的值． 16．(15分)已知函数f(x)＝(a≠1)． (1)若a>0，求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围． 17．(15分)某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1 350万元，每生产x(千台)电脑需要另投成本T(x)(万元)，且T(x)＝另外，每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2023年共售出10 000台平板电脑，企业获得年利润为1 650万元． (1)求企业获得年利润W(x)(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式； (2)当年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 18．(17分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足： ①f(x)在D上是单调函数； ②存在闭区间[a，b]⊆D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]． 那么就称函数y＝f(x)为闭函数． 试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由． 19．(17分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． (1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值． 第二章　函数 考试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y＝x2－2x，x∈[－1,3]的值域为( ) A．[0,3] B．[－1,3] C．[－1,0] D．[1,3] [解析]　函数的对称轴为直线x＝1， 因为x∈[－1,3]，所以当x＝1时，函数取得最小值y＝1－2＝－1，当x＝3或x＝－1时函数取得最大值y＝1＋2＝3，即函数的值域为[－1,3]．故选B. 2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的为( ) A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| [解析]　A中函数为非奇非偶函数，B中函数为奇函数，C中函数为偶函数，D中函数为奇函数．故选A. 3．已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 3 2 1 0 0 －1 －2 －3 则f[f(4)]＝( ) A．－1 B．－2 C．－3 D．3 [解析]　由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.故选D. 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( ) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 [解析]　由已知得2α＝，解得α＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C. 5．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值是( ) A．－2 B．6 C．1 D．0 [解析]　方法一：令x－1＝2，则x＝3， ∴f(2)＝32－3＝6. 方法二：令x－1＝t，则x＝t＋1， ∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2， ∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.故选B. 6．已知减函数f(x)＝－3x3－2x，若f(m－3)＋f(－2m)<0，则实数m的取值范围为( ) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) [解析]　易知f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递减，由f(m－3)＋f(－2m)<0，得f(m－3)<－f(－2m)＝f(2m)，于是得m－3>2m，解得m<－3.故选C. 7．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( ) [解析]　根据题可得，当0<x≤1时，S△APM＝×1×x＝x； 当1<x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋； 当2<x≤时，S△APM＝S梯形ABCM－S梯形ABCP＝××1－×(1＋x－2)×1＝－x＋， ∴y＝f(x)＝ 根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合．故选A. 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1) C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3) [解析]　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0， 又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0， 又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)， 所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)， 又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)， 即f(1)>0，所以f(－1)＝－f(1)<0，f(3)＝f(1)>0，可得f(－1)<f(4)<f(3)．故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( 　 ) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ [解析]　在A中，当x<0时，y＝|x|＋1＝－x＋1，在(－∞，0)上为减函数；在B中，当x<0时，y＝＝－1，在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；在C中，当x<0时，y＝－＝x，在(－∞，0)上是增函数；在D中，当x<0时，y＝x＋＝x－1，在(－∞，0)上是增函数．故选CD. 10．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)( 　 ) A．最小值－1 B．最大值为7－2 C．无最小值 D．无最大值 [解析]　作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，由得x＝2－，∴x＝2－时F(x)max＝7－2.故选BC. 11．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( 　 ) A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x) B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2) C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0 D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0 [解析]　根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．故选CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数f(x)＝＋的定义域是_(－∞，0)∪(0,1]__. [解析]　因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0， 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 13．已知函数f(x)＝(x＋a)(x－a2)是偶函数，则a的值为_0或1__. [解析]　f(x)＝(x＋a)(x－a2)＝x2＋(a－a2)x－a3，f(－x)＝x2－(a－a2)x－a3， 因为函数f(x)为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 即x2＋(a－a2)x－a3＝x2－(a－a2)x－a3， 故a－a2＝0，解得a＝0或a＝1. 14．设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为_0(答案不唯一)__；a的最大值为_1__. [解析]　若a＝0时，f(x)＝∴f(x)min＝0； 若a<0时，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求； 若a>0时， 当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)>f(a)＝－a2＋1， 当x>a时，f(x)min＝ ∴－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2， 解得0<a≤1，综上可得0≤a≤1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并说明理由； (2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，并写出相应x的值． [解析]　(1)由f(x)＝得f(x)＝1＋，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，证明如下： 令1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 又x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0， 所以>0，即f(x1)－f(x2)>0， 所以f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)可知，函数f(x)在[2,3]上单调递减， 所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝＝2； 当x＝3时，函数f(x)取得最小值f(3)＝＝. 16．(15分)已知函数f(x)＝(a≠1)． (1)若a>0，求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f(x)的定义域是. (2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3. 当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上单调递减，则需－a>0，且3－a×0≥0，此时a<0. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 17．(15分)某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1 350万元，每生产x(千台)电脑需要另投成本T(x)(万元)，且T(x)＝另外，每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2023年共售出10 000台平板电脑，企业获得年利润为1 650万元． (1)求企业获得年利润W(x)(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式； (2)当年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． [解析]　(1)10 000台平板电脑，即10千台，此时T(10)＝100a＋2 000， 根据题意得0.6×10 000－100a－2 000－1 350＝1 650， 解得a＝10， 故当0<x<40时，W(x)＝0.6×1 000x－1 350－10x2－100x－1 000＝－10x2＋500x－2 350， 当x≥40时，W(x)＝0.6×1 000x－1 350－601x－＋7 450＝－x－＋6 100， 综上W(x)＝ (2)当0<x<40时，W(x)＝－10x2＋500x－2 350＝－10(x－25)2＋3 900，当x＝25时，W(x)取得最大值，W(x)max＝3 900； 当x≥40时，W(x)＝－x－＋6 100＝6 100－≤6 100－2＝5 900，当且仅当x＝，即x＝100时，等号成立，W(x)max＝5 900，因为5 900>3 900， 所以当年产量为100千台时，企业所获年利润最大，最大年利润为5 900万元． 18．(17分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足： ①f(x)在D上是单调函数； ②存在闭区间[a，b]⊆D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]． 那么就称函数y＝f(x)为闭函数． 试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由． [解析]　设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1<x2，则有 f(x2)－f(x1)＝(x＋2x2)－(x＋2x1) ＝(x－x)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)． ∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋x2＋2>0. ∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0. ∴f(x2)>f(x1)． ∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a，b]，则有 即 解得或或或 又∵－1≤a<b，∴. ∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]． 19．(17分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． (1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值． [解析]　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0,1]，∴1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以单调减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以单调增区间为；由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]． (2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴∴a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $