高中数学单元测试——第一章预备知识（较难版01）

**基本信息** 适用于高中数学第一章预备知识单元复习，以基础概念为核心，通过分层设计与实际情境融合，强化数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题否定、不等式求解|基础概念辨析，如第3题集合交集考查数学抽象| |多选题|3/18|集合相等、充分必要条件|第10题结合条件判断，培养逻辑推理能力| |填空题|3/15|子集个数、最值、实际统计|第14题商品统计问题，体现数学语言表达现实世界| |解答题|5/77|集合综合运算、条件应用、利润函数、新定义“差倍集”|第17题利润函数建模，强化应用意识；第19题“差倍集”新定义，发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 预备知识（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）设集合，，则为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则的非空真子集的个数为（   ） A．7 B．6 C．3 D．2 6．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 7．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 11．（本题6分）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 三、填空题 12．（本题5分）若，则的所有可能取值为______． 13．（本题5分）设，则的最小值为____________． 14．（本题5分）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 16．（本题15分）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 预备知识（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系逐项分析即可． 【详解】对于A，0不属于空集，故A错误； 对于B，不是自然数，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，成立，但当两者作为集合中的元素时，也即和时，并不是的子集，故D错误． 故选：C． 2．（本题5分）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 3．（本题5分）设集合，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， ， 所以. 4．（本题5分）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将不等式移项整理成一边为零的形式，另一边是一个关于变量的二次表达式，然后通过配方发现它是一个完全平方式，从而得出不等式成立的条件是变量取唯一的值. 【详解】由题知不等式为，即， 即，解得， 所以解集为． 故选：A. 5．（本题5分）已知，则的非空真子集的个数为（   ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由条件根据补集的定义求，再列出其非空真子集，由此确定结论. 【详解】因为，又 所以， 集合的非空真子集有，，，，，，共个， 故选：B. 6．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 【答案】A 【分析】由题意设，从而求出，从而可得 【详解】由题意设， 则，解得， 因为，， 所以，则的最大值为，故A正确． 故选：A． 7．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 10．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；举反例即可判断B的真假． 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件． 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对B：，但为有理数， 若为无理数，但为有理数，为无理数， 故“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件；B正确， 对C：由“且”可得“”， 但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BD． 11．（本题6分）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）若，则的所有可能取值为______． 【答案】2或0 【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案. 【详解】①当时，，此时不满足元素的互异性，舍去， ②当时，，此时集合为，符合题意， ③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去， 若，此时集合为，综上所述的可能值为2或0． 故答案为：2或0 13．（本题5分）设，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 14．（本题5分）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【分析】第一天售出商品数减去前两天都售出的商品数即可解决第一空，再求出第三天售出的商品中有多少种商品第二天未售出，要使商品种数最少，则只需第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过，即可得解. 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【详解】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 16．（本题15分）已知，或． (1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围； (2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先解不等式，再把充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式即可求解； （2）先求的取值范围，再把必要不充分条件转化为真子集关系，列出不等式组即可求解. 【详解】（1）：，故：， 又因为是的充分不必要条件，所以或， 解得或， 故实数的取值范围为或. （2）:，又是的必要不充分条件， 因为，所以对应的集合不是空集， 所以，解得， 故实数的最大值为. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)记关于的不等式的解集为. （i）若，求的取值范围； （ii）求. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）（i）由建立不等式求出范围；（ii）按分类求解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，依题意，不等式的解集为， 则，解得，所以的取值范围是. （2）（i）不等式， 由，得，即，解得或， 所以的取值范围是或. （ii）由（i）得， 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，；当时，； 当时，. 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)(答案不唯一)，理由见解析 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）举一个满足条件的集合，利用差倍集的定义写出其差倍集即可证明. 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $