第一章集合与常用逻辑用语（单元培优卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高一数学第一章“集合与常用逻辑用语”，通过基础题与创新探究题结合，覆盖集合概念、命题逻辑、充要条件等核心知识，适配单元复习，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合确定性（第1题）、命题否定（第2题）、充要条件（第3题）|文化情境（第3题“一屋不扫何以扫天下”）、新定义运算（第8题）| |填空题|3题15分|命题真假与参数范围（第12题）、集合元素个数（第14题）|分层设计，基础与中档结合| |解答题|5题77分|集合运算与参数（第16题）、命题与充要条件综合（第17题）、新定义数环数域（第19题）|逻辑推理（第19题证明）、创新应用，衔接高考探究题型|

2026-2027学年高一上学期单元测试卷 第一章 集合与常用逻辑用语 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A.所有的正方形 B.方程的整数解 C.我国较长的河流 D.出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 2.命题：“，”的否定是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：C 3.古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下” A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 4.已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5.“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A. B.m<1 C. D. 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 6.在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解. 【详解】根据题意可知集合中有两个元素， 又，，所以， 则. 故选：A. 7.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，、没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、 、、、、、、、、 、、，共个， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解. 8.在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A. B. C.对任意的，，，有 D.对任意，，，有 【答案】C 【分析】根据②③可推得，进而结合①即可得出.然后根据新定义对每个选项进行运算化简可得． 【详解】由②③可得， 令， ， 即. 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ， ， 对任意的 ，有 ，故C正确； 对于D， ， ， 当时，有，故D错误． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D.的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 10.已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD. 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 11.给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A.是“广义等差集合” B.是“广义等差集合” C.若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D.若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12.若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 13.已知命题：方程无实数根，命题；那么是的______条件； 【答案】充分不必要 【分析】方程无实数根，则，根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】方程无实数根，则有，所以，但不能推出，所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 14.已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假. 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题. 因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 16.（15分）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 17.（15分）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 题型五、全称（存在）量词命题的真假判断及否定 18.（17分）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 19.（17分）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期单元测试卷 第一章 集合与常用逻辑用语 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A.所有的正方形 B.方程的整数解 C.我国较长的河流 D.出席十九届四中全会的全体中央委员 2.命题：“，”的否定是（    ） A.， B.， C.， D.， 3.古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下” A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A. B.m<1 C. D. 6.在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A. B. C. D. 8.在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A. B. C.对任意的，，，有 D.对任意，，，有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D.的不同真子集个数为8 10.已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11.给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A.是“广义等差集合” B.是“广义等差集合” C.若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D.若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12.若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是______ 13.已知命题：方程无实数根，命题；那么是的______条件； 14.已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 16.（15分）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 17.（15分）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 18.（17分）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 19.（17分）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $