高中数学单元测试——第一章预备知识（适中版02）

**基本信息** 高中数学第一章预备知识单元卷，覆盖集合、命题、不等式等基础知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合符号运用、命题否定、集合运算|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|充分必要条件、集合性质|多选项设计，培养逻辑推理意识| |填空题|3/15|集合元素关系、不等式恒成立、容斥原理|结合实际情境，体现应用意识| |解答题|5/77|集合运算、充要条件应用、利润函数模型、新定义“差倍集”|分层设计，从基础运算到创新探究，发展数学思维与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 预备知识（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 2．（本题5分）命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】是“，”. 故选：A. 3．（本题5分）设集合，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， ， 所以. 4．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 5．（本题5分）已知集合，则的真子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式得到集合B，接着由交集定义求出，再由真子集定义列举计数即可得解. 【详解】解， 所以. 又，所以， 所以的真子集有，共3个. 故选：C 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】由题设，，则. 故选：A 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可. 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；举反例即可判断B的真假． 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件． 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对B：，但为有理数， 若为无理数，但为有理数，为无理数， 故“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件；B正确， 对C：由“且”可得“”， 但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BD． 11．（本题6分）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除； 若，则，可得或（舍）， 所以，此时. 故答案为： 13．（本题5分）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用乘的方法求的最小值，即可得解. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立， 故，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【答案】 【分析】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【详解】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    四、解答题 15．（本题13分）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【详解】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或 16．（本题15分）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得集合是集合的真子集，进而可得，求解即可； （2）集合是集合的真子集，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 又，， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集， 若时，，解得， 若时，可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)(答案不唯一)，理由见解析 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）举一个满足条件的集合，利用差倍集的定义写出其差倍集即可证明. 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 高中数学单元测试一一 第一章预备知识（适中版02） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.(本题5分)下列集合符号运用不正确的是()· A.01EN B.⑦c{reRr2+1=0} 1 C.eZ D.3eQ 2.(本题5分)命题P:x∈R,2>0,则P是() A.3x∈R,x2≤0 B.3x∈R,x2>0 C.x∈R,x2≤0 D.x∈R,x2<0 3.(本题5分)设柴合1=reN0≤x<6,B=x-1e4,则AnB为() A.1,2} B.0,12} c.红，2,3 D.{0,12,3} 4.(本题5分)不等式x-23-2)20 的解集为() A{x引 。{r或≥2 D.引 5.（本题5分)已知集合1=41,10，B=-2到≤5}，则4B的真子铁个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(本题5分)已知0<x<5,-1<y<2,则-3y的取值范围是() A.-6<x-3y<8B.-6<x-3y<4C.6<x-3y<8D.4<x-3y<6 试卷第1页，共3页 1/4 7.(本题5分)已知命愿p:“关于x的方程-2x+号-0有实根”若p为假命题的充 分不必要条件为a>3m-2,则实数m的取值范围是() A.[2,+o) B.（-∞，2) c.(2,+∞) D.(∞，2] 8.(本题5分)若不等式V0+≥k(a+)对任意正数a,b恒成立，则实数女的最大值 为() A号 B.1 C.2 D. 二、多选题 9.(本题6分)下列说法正确的是() A.g∈{0y B.集合xx=2m,neZ=x5eZ C.集合8,4=43y D.集合y=}=yy=x} 10.(本题6分)下面命题正确的是() A.。>”是“。”的必要不充分条件 B.“x、y为无理数”是“术+y为无理数”的既不充分也不必要条件 C.“x≤1且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 1,《本题6分)对任意集合4BcU,记4B=x∈4UB,且xAnB,并称4B为 集合A,B的相异集，则() A.A*B=B*A B.若A二A*B,则A∩B≠O C.命题“若A*B=A,则B=”为假命题 试卷第2页，共3页 可学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若P:A*B≤A,9:B二A,则P是9成立的充分必要条件 三、填空题 12.(本题5分)已知3e2,a+4a, ,则实数a= 14 +=2 13.(本题5分)已知实数x>0,y>0,xy,且x+y≥2m-3恒成立，则实数m 的取值范围为 14.(本题5分)某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项 目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比 赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200 米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有 人 四、解答题 15.(本题13分)已知集合1=-2<x<3头，B={-3≤x≤2y (I)求A∩B:AUB ②若全集=r≤列，求1n(G)及C4UG,) 16,(本题15分)已知集合4={3<x<4,B={-m≤x≤3m-2} 是否存在实数m。 使得x∈A是x∈B成立的？ (I)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在，求出m的取 值范围，若问题中的m不存在，请说明理由： (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在，求出m的取 值范围，若问题中的m不存在，请说明理由. 17.(本题15分)某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x(0<x<10)万 试卷第3页，共3页 3/4 14x 2- 元，则该材料的销售量可增加P=x+2吨，每吨的销售价格为 P万元，另外生产卫吨 该材料还需要投入其他成本4万元 (1)求出该公司本季度增加部分的利润y(单位：万元)与x之间的函数关系式： (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大？最大为多少万元？ mx2+(1-m)x+m-2≥-2 18.(本题17分)(1)若不等式 对一切实数恒成立，求实数 m的取值范围： (2)解关于的不等式” mx2+(1-m)x+m-2<m-1 19.(本题17分)设集合P是正整数集的非空子集，对任意 ,n∈P(m>n) 定义运算 f(m,n)=m-2n 2(P) ,若所有这样的运算结果构成的集合记为 则称O(P)为失合P的 “差倍集”. (1)当 235时，写出集合P的差倍失0(P), ②设集合P=L4,,:eN,若其差倍尖(P)中恰好有两个元素，求所有满足条件的女： (3)若集合P是由4个正整数构成，请写出一个集合P,使得其差倍集 (P) 的元素个数为 4,并说明理由 试卷第4页，共3页