高中数学单元测试——第一章预备知识（较易版02）

**基本信息** 聚焦高中数学第一章预备知识，以基础巩固为主，通过分层题型设计培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合符号、命题否定、集合运算、不等式解集|基础概念辨析，强化数学抽象能力| |多选题|3题18分|集合概念、充分必要条件、新定义“类”|结合逻辑推理，考查知识关联| |填空题|3题15分|集合元素、基本不等式、容斥原理|注重运算能力与实际应用| |解答题|5题77分|集合综合运算、充分必要条件应用、利润函数建模、二次函数性质、新定义“差倍集”|分层设计，融合数学建模与创新意识，如利润函数问题培养应用能力，“差倍集”题发展探究精神|

高中数学单元测试 —— 第一章 预备知识（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 2．（本题5分）命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】是“，”. 故选：A. 3．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，， 则 4．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【详解】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 5．（本题5分）集合的真子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】按照真子集的个数公式求解即可. 【详解】集合有个元素，故集合的真子集个数为个， 故选：C 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 8．（本题5分）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可. 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 11．（本题6分）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（    ） A．存在一个数，使得 B．对于任意一个数，都能使成立 C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件 D．“整数，满足，”的必要条件是“” 【答案】CD 【分析】对A，假设存在一个数，使得，从而推出矛盾即可；对B，举反例判断即可；对C，设整数，属于同一“类”，再分别分析充分与必要性判断即可；对D，设，，，判断即可. 【详解】对于A，假设存在一个数，使得，则，，，显然不成立，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若整数，属于同一“类”，则整数，被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即，若，则被6除所得余数为0，则整数，被6除所得余数相同，故“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，故C正确； 对于D，若整数，满足，，则，，，，所以，，所以，故D正确． 故选：CD． 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除； 若，则，可得或（舍）， 所以，此时. 故答案为： 13．（本题5分）若正数满足，则的最小值等于_______. 【答案】 【分析】根据，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】，，， , （当且仅当，即，时取等号）， 则的最小值等于. 故答案为：. 14．（本题5分）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【详解】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 16．（本题15分）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)(答案不唯一)，理由见解析 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）举一个满足条件的集合，利用差倍集的定义写出其差倍集即可证明. 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 预备知识（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 5．（本题5分）集合的真子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 二、多选题 9．（本题6分）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 11．（本题6分）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（    ） A．存在一个数，使得 B．对于任意一个数，都能使成立 C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件 D．“整数，满足，”的必要条件是“” 三、填空题 12．（本题5分）已知，则实数_______. 13．（本题5分）若正数满足，则的最小值等于_______. 14．（本题5分）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 16．（本题15分）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $