高中数学单元测试——第一章　空间向量与立体几何（适中版02）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元，覆盖坐标系、向量运算、线面关系等核心知识，通过基础题到综合解答题的梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系、向量表示、基底判断|基础巩固，考查数学眼光的空间观念| |多选题|3/18|向量命题真假、线面关系判断|辨析能力，体现数学思维的推理意识| |填空题|3/15|距离计算、向量夹角、二面角|简洁应用，强化数学语言的精确表达| |解答题|5/77|线面垂直证明、线面角、二面角、点面距离|综合探究，融合空间想象与逻辑推理，适配单元复习提升需求|

高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．（本题5分）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，，共面，所以存在，使得，列出方程组，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以存在，使得， 所以. 故选：C 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由题意可知，即， 解得或； 所以点的坐标为或. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 10．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．直线的方向向量，平面的法向量，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数 D．若，，，则点在平面内 【答案】BD 【分析】A由可得进而可判断；B证得可得，进而可判断；C由可得，解出即可判断；D证得向量共面，即可判断. 【详解】A因为，所以，故A错误； B因为，所以，因此，故B正确； C因为，所以，因此，即，故C错误； D因为，所以向量共面，即点四点共面， 从而点P在平面ABC内，故D正确. 故选：. 11．（本题6分）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．与所成角大小为 D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再求出交线的方向向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D，利用线线角的向量求法判断C即可. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，且设边长为2，      则，，，，，，, 可得，， 设平面的法向量为，得到， 令，解得，则， 易得平面的法向量为， 而平面与平面的交线为，可得， 设的方向向量为，则， 令，解得，，可得， 而，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 对于A，由已知得，且由题意得， 显然不在面内，则平面，故A正确， 对于BD，由,则，,则不成立，成立，故B错误，D正确， 对于C，由题意得，设与所成角为， 则，而，可得，故C正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）在空间直角坐标系中，已知点，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示，表示出向量，再计算其模. 【详解】. 故答案为： 13．（本题5分）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 【答案】 【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以 ； （2）设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . （2）因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 18．（本题17分）如图，在正四棱锥中，，E，F分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若平面与棱交于点M，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角运算求出答案； （2）设，求出平面AEF的法向量，进而通过求出，最后得到答案. 【详解】（1）解：根据题意，设正四棱锥的棱长为4，易得，如图，以O为原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则， 所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值为：. （2）解：由（1），,,， 设平面AEF的法向量，则，令x=1，则，连接AM，设，则， 由,所以. 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（本题5分）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 10．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．直线的方向向量，平面的法向量，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数 D．若，，，则点在平面内 11．（本题6分）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．与所成角大小为 D． 三、填空题 12．（本题5分）在空间直角坐标系中，已知点，则__________. 13．（本题5分）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 18．（本题17分）如图，在正四棱锥中，，E，F分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若平面与棱交于点M，求的值． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $