高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较易版01）

**基本信息** 针对高中数学第五章一元函数的导数及其应用的较易版单元卷，覆盖导数计算、几何意义、单调性等核心知识，结合科技情境与分层设计，适配单元复习基础巩固与能力初培。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（1-2题）、切线斜率（3题）、单调性（4题）、极值条件（6题）|第7题以大数据推荐系统为情境，体现用数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|函数增减性判断（9题）、导函数图像分析（10题）|第10题结合导函数图像考查极值点与单调性，培养数学思维| |填空题|3/15|导数运算（12题）、闭区间最值（13题）|第14题不等式恒成立问题，渗透数学语言表达| |解答题|5/77|单调区间与切线方程（15题）、极值与最值（16题）、零点个数讨论（17-18题）|19题含证明与单调性讨论，综合考查逻辑推理与数学思维|

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2．（本题5分）函数的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用自然对数和常数求导即可求解. 【详解】求导得：， 故选：A. 3．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 4．（本题5分）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数求导，结合函数定义域，由即可求得. 【详解】由求导得，， 因，由可得，即的单调递减区间是. 故选：B. 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 6．（本题5分）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 7．（本题5分）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，求证，即可赋值判断. 【详解】①令，则， 当时，，所以，当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即，等号成立时， 所以，即； ②令，则， 当时，，当1时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以0，即，等号成立时， 所以，即． 综上，． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数的定义域，再借助导数判断单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 10．（本题6分）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据的图象判断的单调性及其极值情况，再结合各选项描述判断正误. 【详解】A：由题意知，当时，， 所以不是的极小值点，故A错误； 由图知， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 所以当或时，取得极大值，故B正确； 且在区间单调递增，故C正确； D：由题意知，由图，得，， 所以区间内单位增长率大于1，且，可得，故D正确； 故选：BCD 11．（本题6分）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据“对称导数函数”定义逐项判断. 【详解】对于A：，因为 ，所以， 所以是“对称导数函数”，故A正确. 对于B： ， 令，得， 设， 则，所以为增函数，又， 所以在上无实数解，所以不是“对称导数函数”，故B错误. 对于C： ，令，得， 即，令， 则是增函数，又因为，所以有唯一零点0， 所以等价于，而， 所以不是“对称导数函数”，故C错误. 对于D：对于，令， 得，因为， 当时，方程成立，所以是“对称导数函数”，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）若，则________． 【答案】 【分析】对函数求导直接代入计算即可. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 14．（本题5分）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）利用导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）因为，且， 所以切线方程为， 即. 所以曲线在点处的切线方程为. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1) 证明：令， 则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减：在上单调递增， 从而在上，， 所以在上单调递增， 因此在上，，即； (2) ，， ，在上，， 所以在上递增，，即函数在上无零点； ，记， 则时，，在上递增， 而， 故存在，使， 当时，递减，时，递增，， 而，， 在上无零点，在,上有唯一零点， 综上，当时，在上没有零点； 当时，在上有且仅有1个零点． 【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明； （2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）略. （2）略． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．（本题17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3)当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（本题5分）函数的导数（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 4．（本题5分）已知函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 11．（本题6分）定义：对于函数，若存在，使得，则称函数是“对称导数函数”.下列函数是“对称导数函数”的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）若，则________． 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 14．（本题5分）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 19．（本题17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $