高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）函数的导数=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可. 【详解】由，得， 故选：A. 3．（本题5分）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 4．（本题5分）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令，解不等式即可. 【详解】，定义域为，， 令，解得. 故答案为：D 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 6．（本题5分）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（本题5分）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 8．（本题5分）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算及性质求出，再由不等式判断的范围，利用对数函数的单调性判断的范围即可得解. 【详解】由可得，所以， 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 当时等号成立，所以， 又， 所以， 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    11．（本题6分）若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有下界，无上界 D．函数有界 【答案】BD 【分析】由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；根据趋近问题理解即可判断C；利用放缩法即可判断D. 【详解】对于选项A：当时，， 当且仅当时，等号成立， 可得恒成立，可知是的一个上界，故A错误； 对于选项B：的定义域为，且， 当时，；当，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可知有下界， 且当x趋近于时，趋向于，可知无上界， 综上所述：有下界，无上界，故B正确； 对于选项C：当，x趋近于0时，趋向于， 可知无下界，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，，即， 所以有界，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 【答案】 【分析】先求出，再代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）在上的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】 【分析】应用导数求出函数在区间上的最值，即可得. 【详解】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】由题意得，即，得，设，所以与有两个交点，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像：    由图像可知：， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）利用导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）因为，且， 所以切线方程为， 即. 所以曲线在点处的切线方程为. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 17．（本题15分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题设等价于恒成立，结合分离参数法求最值即可求解； （2）求导，通过讨论，讨论函数单调性、函数值情况即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是； （2）由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是. 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点． 【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明； （2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）证明，令， 则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减：在上单调递增， 从而在上，， 所以在上单调递增， 因此在上，，即； （2），， ，在上，， 所以，在上递增，，即函数在上无零点； ，记， 则时，在上递增， 而， 故存在，使， 当时，递减，时，递增，， 而，， 在上无零点，在,上有唯一零点， 综上，当时，在上没有零点： 当时，在上有且仅有1个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导函数求极值即可； （2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调性； （3）根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值即为最大值，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，， 的定义域为，． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故当时，有极大值，且极大值为． （2）的定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，令，得或（舍去）． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知，当时在上单调递增，当时，， 故不成立． 当时，． 由，得， 即． 令，则，故． 由， 因为，所以， 得函数在上单调递增，故． 综上，实数a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）函数的导数=（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（本题5分）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（本题5分）设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 11．（本题6分）若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个下界 B．函数有下界，无上界 C．函数有下界，无上界 D．函数有界 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 13．（本题5分）在上的最小值为，最大值为，则_____. 14．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 17．（本题15分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $