高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较难版01）

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 8．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值为__________  . 13．（本题5分）已知函数，则函数的值域为____________． 14．（本题5分）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（本题15分）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 17．（本题15分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 18．（本题17分）已知函数． (1)讨论函数在区间上的零点个数； (2)证明：当时， 19．（本题17分）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数，结合导数的减法法则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求出，从而得到答案. 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6．（本题5分）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 7．（本题5分）学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【分析】由题意可得利润利用导数求得当时，取最大值，从而得，将代入方程中求解即可. 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数证明，令，求解判断. 【详解】设，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以，∴， 又， 而，∴， 故. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值为__________  . 【答案】 【分析】求导可得，令即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，解得. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 14．（本题5分）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，， 所以切点为，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 16．（本题15分）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得； （2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值. 【详解】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 17．（本题15分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明过程见解析 【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； （2）当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 18．（本题17分）已知函数． (1)讨论函数在区间上的零点个数； (2)证明：当时， 【答案】(1)答案见解析． (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，利用导数研究的性质，结合零点与函数图象交点之间的关系即可求解； （2）利用导数研究求得，进而，即在上恒成立，结合导数的应用求出即可. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为 令，可得，令，则， 由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减． 且. 所以当或时，直线与函数图象无交点，此时函数无零点； 当或时，直线与函数图象有1个交点，此时函数有1个零点； 当时，直线与函数图象有2个交点，此时函数有2个零点． （2），则． 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以． 要证，即证， 即证恒成立，令， 则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则恒成立，所以当时，恒成立． 19．（本题17分）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）求定义域，求导，得到的单调性，进而得到函数极值情况； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数，故分，，三种情况，根据函数最小值得到方程，求出. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值； （2）因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $