高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（适中版02）

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】求导，再令即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：A. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数导数，令可得解. 【详解】因为， 所以令可得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 7．（本题5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据题意可列出每瓶液体材料的利润关于r的函数解析式，再利用导数求出函数单调性，即可得出利润最大时. 【详解】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 8．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建函数，利用导数可证，即可得，在结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】构建函数，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 可得，当且仅当时取等号， 则， 由正弦函数的有界性可知，则， 又因为，则，所以． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据导函数确定函数单调性即可. 【详解】对于A，，在上单调递增，故A正确； 对于B，，在上单调递减，故B正确； 对于C，，令，令， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，令，令， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：AB. 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 11．（本题6分）设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（    ） A．函数为上的凹函数 B．函数为上的凸函数 C．函数为上的凸函数 D．函数为上的凹函数 【答案】ABD 【分析】对于A：求导，直接判断的单调性即可；对于B：求导，令，利用导数判断的单调性即可；对于C：求导，取特指分析判断即可；对于D：求导，令，利用导数判断的单调性即可. 【详解】对于选项A：因为为上的增函数， 所以为上的凹函数，故A正确； 对于选项B：因为，设， 则， 当时，，可知为上的减函数， 即为上的减函数，所以为上的凸函数，故B正确； 对于选项C：因为，设， 则，注意到， 可知在内不是单调递减函数，即在内不是单调递减函数， 所以函数在上不为凸函数，故C错误； 对于选项D：因为，令， 则， 设，则， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即在上恒成立， 可知为上的单调递增，所以为上的凹函数，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值为__________  . 【答案】 【分析】求导可得，令即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，解得. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 14．（本题5分）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明过程见解析 【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； （2）当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导函数求极值即可； （2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调性； （3）根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值即为最大值，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，， 的定义域为，． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故当时，有极大值，且极大值为． （2）的定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，令，得或（舍去）． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知，当时在上单调递增，当时，， 故不成立． 当时，． 由，得， 即． 令，则，故． 由， 因为，所以， 得函数在上单调递增，故． 综上，实数a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 7．（本题5分）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 11．（本题6分）设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（    ） A．函数为上的凹函数 B．函数为上的凸函数 C．函数为上的凸函数 D．函数为上的凹函数 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值为__________  . 13．（本题5分）已知函数，则函数的值域为____________． 14．（本题5分）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $