第六章 导数及其应用（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数及其应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 3．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象可知： 当时，，，此时单调递增； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递增．故C满足． 5．关于函数，正确的命题是（   ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．没有极值点 D．在区间上单调递减 【答案】B 【详解】由，得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，所以函数的值域为，故A错误； 因为函数的单调递增区间为， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，故C错误； 因为函数的单调递增区间为， 所以函数在区间上单调递增，故D错误. 6．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示 则 易得，所以，即，所以， 所以圆柱体积 记 ，得， ，单调递增 ，单调递减 故 7．已知函数，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 又，所以函数为奇函数， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 8．已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此函数在上的值域为， 而函数在上单调递减，值域为， 要使关于的方程恒有解，则，解得， 所以的取值范围是. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．在R上是增函数 D．在处的切线斜率是 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 则，所以在R上是增函数，故C正确； 对于D，由，则， 则，所以在处的切线斜率是，故D正确. 故选：BCD. 10．已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 11．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．值域为 B．单调递增区间是和 C．有两个零点 D．方程有5个实根 【答案】BD 【详解】当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 作出函数的图象，如下： 由图可知，函数的值域为， 函数的单调递增区间是和， 只有一个零点，故A错误，B正确，C错误； 对于D，由，令，，则， 由图可知，函数和在上有2个交点， 则有两个值， 且和， 当时，函数和在上有4个交点， 当时，函数和在上有1个交点， 所以方程有5个实根，故D正确. 故选：BD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知函数满足，则______. 【答案】 【详解】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 13．已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 【答案】/ 【详解】设，则，则， 则在处的切线的方程为，即， 联立，得， 因为直线与抛物线也相切， 则有，解得. 14．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】的定义域为， 求导得， 因为函数既有极大值又有极小值， 所以在上有两个不相等的根 记为，即是的两个不相等的正根 ，解得. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） . （3） （4） 16．（15分）已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 【答案】(1)定义域为， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，函数，其定义域为. 求导得； （2）由题意，切点 在切线 上，得 ， 由函数定义得 ，故 ①，切线斜率为 ，即 ， 由 得 ，故 ②， 将①代入②得 ，解得 . 17．（15分）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点 【分析】 【详解】（1），则， 又，所以在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点. 18．（17分）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2). 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由对任意恒成立，即对任意恒成立， 也即对任意恒成立， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ∴， ∴． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数存在极小值点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，定义域为， 又， 因为在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点， 所以. （2）函数的定义域为， 又， 因为是的极小值点，所以，即，化简得：. 又因为，代入得：，将代入得：，即， 设，则，令得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 又因为当时，当时，， 故有唯一解为，代入得. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 导数及其应用（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．关于函数，正确的命题是（   ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．没有极值点 D．在区间上单调递减 6．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．在R上是增函数 D．在处的切线斜率是 10．已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 11．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．值域为 B．单调递增区间是和 C．有两个零点 D．方程有5个实根 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知函数满足，则______. 13．已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 14．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 16．（15分）已知函数． (1)当时，写出函数的定义域并求这个函数的导数； (2)若曲线在点处的切线方程为，求a的值． 17．（15分）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 18．（17分）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数存在极小值点，且，求的值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $