第五章 一元函数的导数及其应用章末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元函数的导数及其应用，覆盖导数几何意义、单调性、极值与零点等核心知识，通过图像分析、综合应用题型适配单元复习，培养数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数图像应用、切线方程、函数单调性|结合图像考查导数几何意义，如第1、2题体现数学眼光| |填空题|3题/15分|切线截距、函数最值、不等式恒成立|基础与创新结合，如第14题考查数学语言表达| |解答题|5题/77分|切线方程、单调性讨论、极值零点|分层设计，如第17题三问覆盖切线、最值、零点，培养数学思维|

第五章 一元函数的导数及其应用章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义判断. 【详解】从图象看，函数的增长越来越平缓，因此，而表示与间的平均变化率，因此. 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】C 【分析】根据导函数与原函数的关系判断AD，根据导函数的图象判断BC. 【详解】由题意，时，，单调递减，AD均错； 由的图象知在上单调递增，在上单调递减，是其极大值点，C正确，D错误. 3．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距. 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 5．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反函数图像关于直线对称的性质，将两曲线上点的距离最小值问题，转化为一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 【详解】因为，则，即， 所以的反函数为，两曲线关于直线对称. 因此，的最小值等于曲线上的点到直线最短距离的2倍. 设曲线上一点，该点到直线（即）的距离为： ， 令，则， 令，解得，则时，，单调递减， 则时，，单调递增， 则的最小值为， 因此最短距离：，即. 6．设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小. 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 7．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数，图象与直线有且只有一个交点，然后利用导数知识研究性质，画出大致图象，据此可得答案. 【详解】定义域为，则有且只有一个零点， 等价于方程在有且只有一个根， 即函数，图象与直线有且只有一个交点. ，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 则在时取得极大值， 又时，，，； 时，，，远远大于，. 据此可得大致图象如下： 则由图可得为使函数，图象与直线有且只有一个交点， 8．已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求导并利用导数结合的单调性和奇偶性分析的单调性和奇偶性，从而转化不等式为，进而求出实数的取值范围． 【详解】设，则， 又在上，，则， 函数在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则， ，即， 函数为上的奇函数， 在上单调递减， 又， ，即， ，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：，错误. 选项B：，错误. 选项C：，正确. 选项D：，正确. 10．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，对任意，函数是偶函数，故A正确. 当时，，， 当时，，故，在上单调递减，无极值点，故B错误. 当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又，所以当时，；当时， ， 因此是在上唯一的极小值点，为，故C正确. 当时，结合C选项可知，在处取得最小值，方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有极值 B．当时，只有一个零点 C．当时，， D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】对A：结合函数单调性与极值定义即可得；对B：利用函数单调性及即可得；对C：构造函数，利用导数计算其单调性可得，即可得时，有；构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误； 对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为， 所以只有一个零点，所以B正确； 对于C，当时，，令， 则，可知在上单调递减，在上单调递增，， 所以，所以， ，故C错误； 对于D，，即， 设，则问题可转化为， 因为是上的增函数，所以，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，于是，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 【答案】 【详解】点处的切线方程是，则， 切线斜率为，则， ． 13．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 14．若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 【答案】 【分析】构造函数，利用函数的导数，研究函数的单调性，从而求得函数的最值，根据不等式恒成立求得实数的取值范围. 【详解】要使得对任意,均有不等式成立，即恒成立， 令函数，则导数， 当时，导数，则函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值， 需满足，∴，即； 当时，函数，当时，，满足条件； 当时，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，端点值，， 所以令，所以，所以； 当时，在上单调递减，值域为，满足题意； 当时，函数在上单调递减，最小值，不满足题意. 综上所述：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 16．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 17．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 18．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)2个零点. 【分析】（1）求出导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程； （2）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （3）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1）若，则，则， 因为，所以曲线在处的切线方程为； （2），令，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 19．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)(ⅰ) ;(ⅱ)见解析 【分析】（1）首先分和两种情况去绝对值，再根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）首先将方程转化为，转移为与的图象交点个数求的取值范围，去绝对值后利用导数分析的单调性和图象，即可求解； （ⅱ）利用分析法将所证明不等式转化为证明，根据函数零点的方程转化为证明，再根据，转化证明，再通过构造，换元，则，，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，，， 由条件可知，. （2），得， 设， ，，所以在区间上单调递减， 当时，，当时，， ，，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，取得极大值，当时，， 画出函数的图象， 与的图象有3个交点，则； (ⅱ)由（ⅰ）可知，， 要证明，只需证明， 又，，即证，所以上式等价于证明， 由，，得，即， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 3．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（   ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有极值 B．当时，只有一个零点 C．当时，， D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 13．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 14．若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 16．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 17．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 18．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 19．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $