高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第五章一元函数的导数及其应用较难版单元卷，适用于单元复习，通过基础概念辨析、综合应用及创新情境题，考查导数定义、几何意义、单调性等核心知识，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数定义（第1题）、切线斜率（第3题）|基础巩固，结合图像辨析（第3题）| |多选题|3/18|导函数图像（第10题）、曲率新定义（第11题）|能力提升，引入新定义考查创新思维| |填空题|3/15|导数计算（第12题）、函数值域（第13题）|聚焦核心技能，强化运算能力| |解答题|5/77|极值最值（第16题）、投资应用（第7题）|分层设计，结合实际情境（第7题）及多问探究（第19题），体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】， 故选：C 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】求导，再令即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：A. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数讨论函数的单调性即可得出结果. 【详解】当时，， 函数的定义域为，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 故选：D. 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 7．（本题5分）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（    ）千元． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设B商品投千元，总收益为，写出利用导数即可求解. 【详解】设B商品投千元，总收益为， 所以， 所以， 所以，令， 则，所以在上大于0，在上小于0， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在取得最大值， 即为使总收益最大，则B商品需投千元． 故选：B. 8．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建函数，利用导数可证，即可得，在结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】构建函数，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 可得，当且仅当时取等号， 则， 由正弦函数的有界性可知，则， 又因为，则，所以． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据导函数确定函数单调性即可. 【详解】对于A，，在上单调递增，故A正确； 对于B，，在上单调递减，故B正确； 对于C，，令，令， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，令，令， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：AB. 10．（本题6分）如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点； C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在处取最大值 【答案】BC 【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案． 【详解】由导函数的图象可知，当时， 当时，当时，当时， 所以在区间上单调递减，故A错误； 在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增， 在和处取得极小值，故B、C正确； 因为在区间上单调递增，处取得极大值， 在处的函数值小于在处的函数值，故D错误. 故选：BC． 11．（本题6分）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 【答案】ABD 【分析】利用曲率的定义可判断ABC选项；由题意得出，令，结合基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， 所以，， 所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对； 对于B选项，令，则，， 所以，， 故当时，取最小值，此时取最大值，且， 所以，曲线在点处的曲率最大，B对； 对于C选项，由可得， 令，则， 则，所以，，， 所以，曲线在点处的曲率为，C错； 对于D选项，设，则，， 则在点处的曲率， 因为曲线在点与处曲率相等， 即，即， 即， 整理可得， 因为且、均为正数，所以，， 由基本不等式可得， 即，令，则， 即，由于，解得，即，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）设函数的导数为，且，则__________. 【答案】 【分析】求导后，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，若，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】当时，通过导函数研究其单调性即可求解；当时，通过导函数研究其单调性，再分、两种情况讨论即可. 【详解】， 若，当时，，则在上单调递增， 因，，则，解得； 若，当时，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 因，故要使得，， 则或，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 16．（本题15分）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)，极小值点 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处有极值可得，可求得a的值；判断函数的单调性，即可判断判断是极大值点还是极小值点； （2）根据函数在上的单调性，结合函数值即可确定最值. 【详解】（1）因为函数，故， 由于函数在处有极值，故， 此时， 当或时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 则为的极小值点，符合题意， 故，且为的极小值点. （2）由（1）可知在单调递减，在单调递增， 故是函数在区间上的极小值也是最小值， 由可知函数在区间上的最大值为4. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 18．（本题17分）已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 【答案】(1) (2) 当时，， 要证在上恒成立，即证在上恒成立， 设，，，， 和在均单调递增，故在单调递增， ，， 故存在使得，且， 在单调递减，在单调递增， ， 又因为，所以， 所以在上恒成立． 【分析】（1）根据函数的零点个数，列式构造函数求出导函数，根据导函数正负得出函数值域即可列式得出参数范围； （2）将代入构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最小值即可证明. 【详解】（1）由有2个零点，故，令， 则与的图象有2个交点， ，时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于于0， 当时，与的图象有2个交点， 故的取值范围是． （2）略 19．（本题17分）已知函数． (1)时，求函数的极值； (2)时，讨论函数的单调区间： (3)若对任意的，当时恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值． (2)①当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． ②当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． ③当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． ④当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． (3)实数的取值范围为． 【分析】（1）代入参数后求导找临界点，判断单调性，求极值； （2）求导后因式分解，找临界点，按参数分类讨论，分区间判断单调性； （3）转化双变量最值，求函数在区间上的最值，再化简不等式，然后参数分离求最值． 【详解】（1）当时，， 的定义域为，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，是极大值点，极大值为，无极小值． （2）当时，，， ， 令，得，， ①当，即时， 令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． ②当，即时， ， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． ③当，即时， 令，得或；令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． ④当，即时， 令，得或；令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）当时，，即， 由（2）的结论得在上单调递增． 所以， 所以，原不等式等价于，化简得， 因为，所以， 因为的最小值为，所以，即实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 7．（本题5分）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（    ）千元． A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．是的极小值点； C．在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．在处取最大值 11．（本题6分）曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（   ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 三、填空题 12．（本题5分）设函数的导数为，且，则__________. 13．（本题5分）已知函数，则函数的值域为____________． 14．（本题5分）已知函数，若，，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（本题15分）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 18．（本题17分）已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 19．（本题17分）已知函数． (1)时，求函数的极值； (2)时，讨论函数的单调区间： (3)若对任意的，当时恒有成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $