高中数学单元测试——第四章数列（较易版01）

**基本信息** 高中数学第四章数列单元复习卷（较易版），覆盖等差等比数列基本运算、性质及新定义问题，融入毕达哥拉斯学派文化情境与“积扩充”创新题型，适配基础巩固与数学思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比基本量、项数判断|基础运算为主，如等差数列第n项计算| |多选题|3/18|数列概念、前n项和性质、类等积数列|结合新定义，如判断类等积数列公积| |填空题|3/15|等比公比、递推关系、前n项和最值|聚焦核心性质，如等比数列公比求解| |解答题|5/77|等差等比综合、错位相减、“积扩充”问题|综合应用与创新，如“积扩充”数列项数及积的探究，体现数学眼光与思维|

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列是等差数列，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 8．（本题5分）已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 14．（本题5分）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列是等差数列，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式得出公差，计算可得结果. 【详解】由题意得,即, 则, 即. 故选：B. 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项公式计算. 【详解】等比数列，满足， 即，解得. 故选：C 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 7．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于和公比q的方程，解出，q，即可写出与，再将不等式化简，参变分离得对任意的恒成立，可构造函数，利用作差法判断函数的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式进行求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 8．（本题5分）已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和. 【详解】因为，则， 且，所以， 所以是周期为3的周期数列， 因为， 设数列的前30项和为， 则数列的前30项和为 ， ， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【详解】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据前和的概念，结合题意以及作差法，利用等差数列的定义，可得答案； 对于B，利用等差数列的求和公式，结合前项和的概念以及作差法，可得答案； 对于C，根据等差数列的单调性，明确每一项与零的大小关系，可得答案； 对于D，根据第六项与第七项与零的大小关系，结合加和的大小，可得答案. 【详解】对于A，由，则，， 所以等差数列的公差，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可知，，则当时，；当时，， 所以是数列的最大值，故C错误； 对于D，由A可知，由B可知，则，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 【答案】AC 【分析】根据已知新定义计算判断A，C，应用周期性计算求和判断B，分类计算判断D. 【详解】对于A，由，得正确； 对于B，由A知，该数列的周期为3，由，得，解得错误； 对于C，由B知，正确； 对于D，当时，，当时，，当时，错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 【答案】 【分析】由等比数列的性质计算可得. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为：2. 13．（本题5分）已知数列，满足，，则______. 【答案】 【分析】根据条件可得，然后求和即可. 【详解】由，，可得， . 故答案为： 14．（本题5分）已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】/ 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； (2) 【分析】（1）由，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）略 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $