高中数学单元测试——第四章数列（适中版02）

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 5．（本题5分）已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则（   ） A．21 B．42 C．63 D．84 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 7．（本题5分）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 11．（本题6分）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论错误的是（   ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 三、填空题 12．（本题5分）已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________. 13．（本题5分）若数列满足，则_____ 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求的通项公式和前项和. 16．（本题15分）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 17．（本题15分）设正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 18．（本题17分）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）某数列前12项依次是，则数列中的值应为（   ） A．56 B．60 C．62 D．64 【答案】B 【分析】观察数列，找到规律，即可求解. 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同. 奇数项为 则，，，，易知， 所以. 故选：B. 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 5．（本题5分）已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则（   ） A．21 B．42 C．63 D．84 【答案】C 【分析】先利用等比数列前项和公式求出首项，再代入前项和公式计算. 【详解】等比数列前项和公式：，代入，， 则，则. 故选：C 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 7．（本题5分）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项和与通项之间的关系推出，结合题意可得，设，结合数列单调性可得的最大值，即可得结果. 【详解】因为，， 当时，则， 两式相减可得：，即， 且，即，可知数列是各项均为的常数列， 所以，即. 因为，即，可得， 设，则， 令，解得， 当时，数列递增；当时，；当时，数列递减， 所以的最大值为. 因为对恒成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（本题5分）已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和. 【详解】因为，则， 且，所以， 所以是周期为3的周期数列， 因为， 设数列的前30项和为， 则数列的前30项和为 ， ， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】BC 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 11．（本题6分）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论错误的是（   ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 【答案】ABD 【分析】根据数列有界和无界的定义，分别对各选项中的数列进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知，对于任意正整数，都有，取，满足对一切正整数，都有，所以数列是有界的，A选项错误. 对于B选项，已知，当足够大时，的值会随着的增大而无限增大，不存在正数，使得对一切正整数，都有，所以数列是无界的，B选项错误. 对于C选项，已知，当时，. 当时，. 当时，上式也成立，所以. 则，因为，所以，取，满足对一切正整数，都有，所以数列是有界的，C选项正确. 对于D选项，已知，则. 当无限增大时，2n也无限增大，不存在正数，使得对一切正整数，都有，所以数列是无界的，D选项错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知各项都不为的等比数列满足，则其公比________. 【答案】/ 【分析】根据等比数列的基本量计算解方程即得公比的值. 【详解】由，得，因，则得,解得 故答案为：. 13．（本题5分）若数列满足，则_____ 【答案】 【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】由可得， ， ，解得， 故答案为： 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求的通项公式和前项和. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解； （2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，，所以，即， 设等差数列公差为， 因为，，所以，即. （2）因为，所以, 由（1）可得， 设前项和为， . 16．（本题15分）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时， 而时，满足，. （2）因为， 所以 因为，所以，. 17．（本题15分）设正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）根据错位相减法求和即可； （3），当时，放缩可得，据此求和即可得证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2）因为, 则    ①    ② ①②可得： . . （3）由（1）知，则， 当时，，结论也成立. 当时，因为，所以，故， 所以，当时， ， 因为，所以，即. 综上所述，. 18．（本题17分）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由知为等差数列，然后求出的通项公式，利用化简，得到与关系，求出数列的通项公式. （2）对化简，分n为奇数和偶数，求出数列的前n项和，从而确定最值. 【详解】（1）因为，所以为等差数列. 因为，，所以. 所以数列的首项为1，公差为，所以. 所以，即. 当时，， 所以，化简可得. 所以，所以数列是常数列，即， 所以. （2）由（1）可知. 所以 . 当n为奇数时，，是关于n单调递减的数列，所以，即； 当n为偶数时，，是关于n单调递增的数列，所以，即. 所以的前n项和的最大值为，最小值为 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $