高中数学单元测试——第四章数列（较难版01）

**基本信息** 高中数学数列单元较难版测试卷，涵盖等差等比数列通项与求和、新定义问题，通过文化情境与分层设计提升复习效果，适配单元综合能力巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|等差数列第7项、等比数列充要条件、数列第8项|第6题结合毕达哥拉斯学派图形数，体现文化传承| |多选题|3题18分|数列概念辨析、等差数列前n项和性质|第11题引入“平衡数列”新定义，培养创新意识| |填空题|3题15分|等比数列递减求公比、数列前n项和|第14题结合递推与等比数列，考查数学思维| |解答题|5题77分|等差等比综合应用、新定义“完全平方数列”|第19题通过新定义探究，提升逻辑推理与数学语言表达能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】D 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差，再利用通项公式求出第7项的值. 【详解】根据等差数列的定义可得：首项，公差， 所以通项公式为：， 当时，. 故选：D. 2．（本题5分）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（本题5分）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 4．（本题5分）等差数列中，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以. 故选：C. 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 8．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】A 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【详解】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据前和的概念，结合题意以及作差法，利用等差数列的定义，可得答案； 对于B，利用等差数列的求和公式，结合前项和的概念以及作差法，可得答案； 对于C，根据等差数列的单调性，明确每一项与零的大小关系，可得答案； 对于D，根据第六项与第七项与零的大小关系，结合加和的大小，可得答案. 【详解】对于A，由，则，， 所以等差数列的公差，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可知，，则当时，；当时，， 所以是数列的最大值，故C错误； 对于D，由A可知，由B可知，则，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 【答案】ABD 【分析】由数列新定义，结合各选项数列递推公式逐个判断即可. 【详解】因为，令，得，， 所以是“平衡数”为5的平衡数列，故A正确； 的前6项依次为2，，，2，，，故是周期为3的周期数列，可验证不是平衡数列，故B正确； 若，则，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 由，得， 当时，， 所以是“平衡数”为3的平衡数列，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）等比数列为递减数列，若，，则_______ 【答案】 【分析】根据等比数列基本量的计算求出，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得或， 又，所以， 又因为该等比数列为递减数列，所以， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； (2) 【分析】（1）由，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）略 19．（本题17分）定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”． (1)若数列为“部分平方数列”，且 ，求使数列的前项和为完全平方数时的值. (2)若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由. (3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列． 【答案】(1)， (2)当时，为“完全平方数列”， 当，时，数列不为“完全平方数列”. 理由如下： 当时，， 当时，，不满足上式， 所以. 因为，根据“完全平方数列”的定义知为“完全平方数列”， 当时，，当时，， 此时数列与原数列相同，即恒成立，故数列为“完全平方数列”； 当，时，不妨检验，， 因为不是完全平方数，所以不是“完全平方数列”. 综上，当时，为“完全平方数列”；当，时，数列不为“完全平方数列”. (3)， 【分析】（1）求和得，时，满足要求； （2）先得到的通项公式，当时，与原数列相同，满足要求，当，时不合要求，得到答案； （3）设等差数列的首项为，公差为，配方变形得到，从而得到方程组，得到，分和两种情况，得到答案. 【详解】（1）， 所以当时，为完全平方数， 故的前项和为完全平方数时，的值为，； （2）略 （3）设等差数列为“完全平方数列”，且首项为，公差为，由定义知该数列是非负数列，公差为非负数. 配方变形得其前项和为， 由“完全平方数列”的定义知，，， 令，则，令，则， 代入，整理可得， 当时，，，此时； 当时，，，， 此时， 显然时，满足. 综上，所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式为，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）等差数列的第7项为（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 2．（本题5分）“”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（本题5分）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）等差数列中，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题5分）已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 10．（本题6分）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列的最大项为 D． 11．（本题6分）若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（    ） A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列 B．若，，则不是平衡数列 C．若，则是平衡数列 D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列 三、填空题 12．（本题5分）等比数列为递减数列，若，，则_______ 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本题15分）记数列的前项和为，已知. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”． (1)若数列为“部分平方数列”，且 ，求使数列的前项和为完全平方数时的值. (2)若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由. (3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $