高中数学单元测试——第四章数列（适中版01）

**基本信息** 本卷聚焦高中数学数列单元核心知识，融合数学文化与分层设计，适配单元复习巩固与能力提升，全面覆盖等差等比、求和及递推关系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比基本量、项数判断|第6题以中国剩余定理体现文化传承，培养数学眼光| |多选题|3/18|数列概念、等差性质|第11题类等积数列创新定义，考查数学思维| |填空题|3/15|等比性质、递推求通项|第14题结合等差等比综合应用，强化数学语言| |解答题|5/77|Sn与an关系、证明及求和|第19题等项数对探究，提升创新意识与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 6．（本题5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ） A．202项 B．203项 C．204项 D．205项 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】由等差数列的定义计算即可. 【详解】公差. 故选：B． 2．（本题5分）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 3．（本题5分）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】A 【分析】利用观察法分析数列的规律即可. 【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项， 故选：A 4．（本题5分）已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【分析】由等比数列前项和公式结合条件即可求得公比，进而求得的值. 【详解】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 6．（本题5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ） A．202项 B．203项 C．204项 D．205项 【答案】C 【分析】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列可得，由可得数列的奇数项能被2除余1，，解即可. 【详解】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则， 由可得数列的奇数项能被2除余1， 所以， 由可得， 故选：C. 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 8．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前2026项和为（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】A 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 二、多选题 9．（本题6分）(多选题)下列说法中正确的是（     ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【详解】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质可得，从而判断A；求出等差数列的，，即可得通项公式和前项和，判断BC；根据并项法求，判断D. 【详解】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确； 因为．所以，可得，即， 结合，计算可得，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD． 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 【答案】AC 【分析】根据已知新定义计算判断A，C，应用周期性计算求和判断B，分类计算判断D. 【详解】对于A，由，得正确； 对于B，由A知，该数列的周期为3，由，得，解得错误； 对于C，由B知，正确； 对于D，当时，，当时，，当时，错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（本题5分）在等比数列中，若，则_________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题得，， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）已知数列满足，，且.等比数列的通项公式为.若数列满足，则数列的前项和为__________. 【答案】 【分析】由变形可得，利用等差数列的定义求得通项，再由裂项求和，分组求和求得答案. 【详解】依题意，，故，得， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列； 故，故， 令， 故数列的前项和为， 而数列的前项和为， 由分组求和法可知，数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 16．（本题15分）已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 17．（本题15分）已知数列的前项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1) 数列中，，则， 则，又， 所以数列是首项为公比为的等比数列，. (2)，. 【分析】（1）数列中，，变形为，利用等比数列的定义即可证明． （2）由（1）可得：，即可得出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）略 （2）由（1）可得：，因此， 数列前项和为， 可得， 两式相减可得， 所以. 18．（本题17分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3) 因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）略 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明：设， 则， 则， 因为，所以． (3)证明：由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $