命题大赛 湖南高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第二册第四章

**基本信息** 高中数学人教A版数列单元测试卷，融合科技（三体信号）与社会热点（新能源规划）情境，覆盖等差、等比数列及递推关系等核心知识，梯度设计适配单元复习，提升数学应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比通项与求和、新定义“速增数列”|第5题以三体信号为情境考查等差数列求和，体现数学眼光| |多选题|3/18|数列概念与性质判断|第9题辨析等差等比数列特征，培养推理意识| |填空题|3/15|等差数列基本量、递推数列最值|第13题结合递推关系求最值，强化运算能力| |解答题|5/77|通项公式推导、数列求和、实际应用|第16题关联新能源规划，第17题构建学习状态概率模型，凸显数学语言表达现实世界的应用意识|

Table 1 高中数学人教 A 版选择性必修第二册第四章数列单元测试卷 双向细目表 考查范围：数列 题号 难度系数 知识点 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分） 1 0.82 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、等差中项的应用 2 0.82 求等比数列前 n 项和、利用 与 关系求通项或项 3 0.7 利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 4 0.65 一元二次方程的解集及其根与系数的关系、等比数列下标和性质及应用 5 0.7 求等差数列前 n 项和，解一元二次不等式 6 0.6 求等比数列前 n 项和、等比数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和 7 0.4 等差数列与等比数列综合应用、等比数列的通项公式 8 0.4 累加法求数列通项、数列新定义、求等差数列前 n 项和 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9 0.94 等比数列前 n 项和的其他性质、等差数列前 n 项和的二次函数特征、等差数列与等比数列综合应用、等比数列的其他性质 10 0.65 求等比数列前 n 项和、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用、等比数列下标和性质及应用 11 0.4 由递推关系证明等比数列、求等比数列前 n 项和、判断数列的增减性、数列不等式恒成立问题 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.) 12 0.9 等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 13 0.6 累加法求通项公式、对勾函数的单调性可求出 的最小值 14 0.6 根据 与 的关系 求解 、再求 的前n项和 四、解答题(本题共 5 小题，其中 15 题 13 分，16、17 题各 15 分，18、19 题各 17 分，总共 77 分） 15 0.85 裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 16 0.71 构造等比数列求通项、分组求和、数列实际经济规划应用 17 0.56 等比数列通项公式的基本量计算、利用全概率公式求概率、由递推关系证明等比数列 18 0.58 等差数列的证明、函数的导数、数列错位相减法求和 19 0.46 等差数列的定义证明及数列求和的其他方法 $ 高中数学人教A版数列单元测试卷 命题人：攸县第三中学文里果、何绍财、肖平、陈芳、龙煜 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共计40分.) 1．已知的内角成等差数列，其所对的边分别为a，b，c，且，则b的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 3．已知为等差数列，首项为，满足，若，则（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 4．在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 5．三体世界向地球持续发送广播信号，试图传递他们的坐标信息。由于三体星的恒星环境极不稳定，发射器的能量需要逐日缓慢充能，因此每日发送的信号时长呈等差数列增长：第1天发送了2分钟的信号，之后每一天都比前一天多发送1.5分钟。地球上的ETO组织截获了这份信号，并发现：只有当累计接收到的信号总时长首次超过87.5分钟时，才能完整解码出三体文明的坐标。请你计算：在信号发送的第n天结束时，累计总时长恰好首次超过87.5分钟。请问n的值是多少？( ) A. 第8天 B. 第9天 C. 第10天 D. 第11天 6．已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设数列满足，且，则 A． B． C． D． 8．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．44 B．45 C．46 D．47 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，...仍为等比数列 10．已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列选项中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．已知数列的首项，前项和为，且，则（   ） A． B．是等差数列 C．是递减数列 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共计15分.) 12．已知为等差数列，，，则______. 13．已知数列满足，，则的最小值为 . 14．_____. 四、解答题(本题共5小题，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16.十五五规划大力推进新型能源体系建设，某新能源产业园逐年加大光伏电站装机容量投入，设第年（对应2026年）新增光伏装机容量为万千瓦，前 年累计新增光伏装机总容量为。已知数列 满足：，且 。 17．小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 19．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高中数学人教A版数列单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D D C C A AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【难度】0.82 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、等差中项的应用 【详解】因为成等差数列，故，而，故。 由正弦定理得， 故即，其中为外接圆半径， 故即，故. 2．B 【难度】0.82 【知识点】求等比数列前n项和、利用与关系求通项或项 【分析】根据和的关系得到，则，，再根据等比数列前项和公式计算即可． 【详解】解：，当时，，故； 当时，，，相减得到， 数列是首项为，公比为的等比数列， 故，验证时成立，故，， ． 3．C 【难度】0.7 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，化简得到，结合，求得，进而求得的值. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得， 即，可得． 所以，解得，所以． 4．D 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、等比数列下标和性质及应用 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在等比数列中，有， 所以，所以或， 所以或． 5．D 【难度】0.70 【知识点】求等差数列前n项和，解一元二次不等式 【详解】解：由题可知每日发送时长构成等差数列，首项，公差d = 1.5。 由等差数列前n项和公式 因为， 二次项系数，抛物线开口向上，不等式 的解为： 结合 n 为正整数，得 。 6．C 【难度】0.7 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和 【分析】根据题意先求公比，进而得，再由裂项相消法求，最后解二次不等式即可求解. 【详解】等比数列的前项和为，公比设为，由，得， 所以，解得或（舍去），所以， ， ， 由不等式恒成立，可得，解得，或. 7．C 【难度】0.4 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、写出等比数列的通项公式 【详解】因为，所以，即所以是以2为公比的等比数列，所以成等比数列，其公比等于，所以 ，故选C. 8．A 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、数列新定义、求等差数列前n项和 【分析】通过新定义得到，进而得到，相加，进而可求解； 【详解】因为数列为“速增数列”， ，，，且， 所以对，，， 所以，且， 所以 相加得， 即，， 当时，， 当时，， 故正整数k的最大值为 9．AC 【难度】0.94 【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等差数列前n项和的二次函数特征、等差数列与等比数列综合应用、等比数列的其他性质 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列前n项和的性质，代入求解，可判断A；根据条件，求出通项公式与前n项和公式，分析计算，可判断B；根据等比数列的性质，可求出的值，即可判断C；根据条件，求出q值，代入通项公式，可判断D. 【详解】A：因为为等比数列，所以成等比数列， 又，，所以成等比数列， 则，解得，故A错误； B：若，，则， 所以，故B正确； C：由，得，又， 所以或，解得或， 则或，所以，故C错误； D：由，得，解得， 当时，由，得， 当时，由，得，故D错误. 11．ACD 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、判断数列的增减性、数列不等式恒成立问题 【分析】首先代入递推公式求，判断A，利用构造法，判断B，再求数列的通项公式判断C，再利用放缩法求和，判断D. 【详解】A.，故A正确； B.由可知，，则， 而，故 即，且， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B错误； C.由B可知，，则，数列是正项单调递增数列， 所以数列是递减数列，故C正确； D.当时，， 所以时，，即， 所以， ， 所以，故D正确. 故选：ACD 12．6 【难度】0.9 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】因为为等差数列，，，则， 即，解得，所以. 13． 【难度】0.60 【知识点】累加法求通项公式、对勾函数的单调性可求出的最小值 【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值. 【详解】因为数列满足，，即， 当时，则有， 所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为. 14．74 【难度】0.6 【知识点】根据与的关系求解、再求的前n项和 【详解】 15．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得，—————————————————————4分 .———————————————————————————6分 （2）由（1）得：，——————————9分 . —————————————————————————————————————13分 16． 【难度】0.71 【知识点】利用构造法，构造等比数列求通项、分组求和、数列实际经济规划应用 【详解】(1) 由，变形得 ，又因为 故 是首项为 ，公比为 的等比数列。 ———————————5分 (2)由 (1) 知 ———————————————7分 —————————————————————————————9分 (3)前n项和 ————11分 ————————————————————————13分 代入得， 答：十五五这五年累计新增装机3520万千瓦。——————————————15分 17．(1)0.4; (2)()，; (3)从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 【难度】0.56 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用全概率公式求概率、由递推关系证明等比数列 【分析】(1)由全概率公式求解； (2)先求出与的递推式，再转化为等比数列求通项公式解出； (3)通过的表达式，求解满足的的取值范围. 【详解】（1）由全概率公式得；————————3分 （2）因为()，即()，———————5分 构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列.———7分 所以，即()；———————————9分 （3）由（2）可知 ∴当时，—————11分 若()，则，即. ∵，， ∴当时，.————————————————————————14分 实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定.———————————————————————15分 18．【难度】0.58 【知识点】等差数列的证明、函数的导数、数列错位相减法求和 【分析】第(1)问通过两边同乘 n(n+1) 构造等差数列 ，是数列题的常见技巧。 第(2)问直接代入通项公式，得到等比数列和，再逐项求导，属于基础求导运算。 第(3)问需要用到对等比数列求和公式求导的方法（错位相减的导数形式），这是数列与导数结合的核心考点。代入 x=-2 时注意符号处理，结果对 m的奇偶性统一表达。 【详解】（1）证明： 两边同乘以 ，得 令 ，则上式化为： 即 (常数)，又 是以首项为 2，公差为 2 的等差数列 即证 是以首项为 2，公差为 2 的等差数列—————————————5分 即 ，得 数列 的通项公式为：————————————————————7分 (2)解：由 得： 用求和符号表示为：        ——————————————10分 (3)解： 两边同乘 x 得： —————————12分 当 时，两式相减得： ——————————————17分 19．【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）数列满足，， 设，则， 有， 所以， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列；————5分 （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以；————————————————————11分 （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为.——————————17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $