第四章 数列章末复习卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学数列章末复习卷，全面覆盖等差、等比数列核心知识，融合文化情境与创新应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等差数列性质（第2题）、等比数列运算（第11题）|文化传承（第4题《九章算术》衰分问题）| |填空题|3题/15分|前n项和与通项关系（第13题）、等比数列求和（第12题）|基础巩固，聚焦核心公式应用| |解答题|5题/77分|递推数列证明（第17题）、数列与集合综合（第19题）|分层设计，体现数学思维与创新意识|

第四章 数列章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 又，，所以的公差为1， 故． 2．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． 3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 【答案】B 【分析】设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求即可. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 4．《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 【答案】A 【分析】根据题意设出“衰分比”和甲所获得的奖金，列出方程求解即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为，甲所获得的奖金为元 则乙、丙、丁所获得的奖金分别为元、元、元， 由题意可知， 由①得 ②代入③得，解得，即“衰分比”为， 把代入②，得，解得， 从而丁所获得的奖金为元 5．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 【答案】B 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得： ，整理得：，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故, 数列的前20项和分组得： ， 对每组用平方差公式： ， 因此： . 6．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【详解】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 7．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和的性质求解. 【详解】， 因为，则，， ，， 所以，即的值为. 8．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】推导出数列的周期为，结合数列的周期性逐项判断即可. 【详解】数列满足，， 可得，，，， 所以，数列的周期为，，A对B错； ，故， ，CD都对. 10．已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 【答案】AC 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为，则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得，， 由，可得，所以取得最小正值时为31，故D错误. 11．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 【答案】BCD 【分析】根据等比数列的性质，求出，可判断A的正误；根据条件，求出公比和首项，求出的通项公式，代入所求，根据裂项相消法，求出，可判断B的正误；若，求出的表达式，分析正负，可判断C的正误；根据为递增数列，可得，可得的表达式，分析其单调性和最值，可判断D的正误. 【详解】因为为等比数列，所以，则， 因为，所以，故A错误； 由，得，设公比为q， 则，整理得，解得或（舍）， 则，所以， 则， 所以，故B正确； 若，则， 所以， 当时，恒成立，所以数列为递增数列，故C正确； 选项D: 若数列为递增数列，则，对于恒成立， 又， 所以，则，对于恒成立， 令，则，，，，， 当时，， 所以当时，，且单调递减， 所以的最大值为，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 13．若数列的前项和，则的通项公式是________． 【答案】 【分析】通过，分类讨论可求得通项公式. 【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 14．已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则________． 【答案】/ 【分析】根据已知得是等差数列，求得的通项公式，再利用即可求得的通项公式，进而求得的值． 【详解】由题设，且，则， 所以，两边同时除以，得，且， 所以是1为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 根据且，可得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的通项公式为． (1)是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)是该数列中的项；对应和；该数列中有小于0的项；共项； (2)或时，有最小值；最小值为． 【分析】（1）假设是数列中的项，解方程求出相应，从而判断结论；解不等式求出的范围，进而判断相应项数； （2）结合通项公式的函数性质，求出最小值对应的项，进而求解． 【详解】（1）若是该数列中的项，则有解， 解得或， 该数列的第5项和第16项都为， 由，解得， 该数列中有小于0项，共有18项． （2），其对称轴为， 又， 当或时，有最小值，其最小值为． 16．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 17．已知数列中，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)依题意，， 因此， 即，又， ， 所以数列 是以为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出与的关系，再构造等比数列推理得证. （2）由（1）求出，再利用并项求和法及等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，即，又 ， 则， 因此， 则， 所以数列的前项和为. 18．已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式求出，再结合等差数列的函数特性可得，进而求解即可； （2）根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 而，即 则，显然， 而等差数列的通项是关于的一次函数，则，即， 则，即. （2）由， 则， 两式相减得，， 则. 19．在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出； （ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最大元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 2．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 4．《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 5．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 6．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 11．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 13．若数列的前项和，则的通项公式是________． 14．已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的通项公式为． (1)是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，有最小值？并求出最小值． 16．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 17．已知数列中，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 18．已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 19．在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $