高中数学单元测试——第三章　圆锥曲线的方程（较难版01）

**基本信息** 高中数学第三章圆锥曲线方程单元复习较难卷，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习需求，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点准线距离、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念辨析，如第3题结合椭圆定义求离心率| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦|多角度考察，如第10题综合抛物线焦点弦与圆的位置关系| |填空题|3/15|双曲线方程参数、抛物线焦半径|开放与基础结合，如第12题开放设问双曲线参数| |解答题|5/77|曲线方程求解、抛物线焦点弦面积、双曲线中点弦、椭圆定点问题|综合应用，如第19题结合圆与圆锥曲线轨迹及定点证明，考察逻辑推理与数学表达|

高中数学单元测试 —— 第三章　圆锥曲线的方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题可知即求p的值. 【详解】解：由题得， 故焦点到准线的距离为2， 故选：A． 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 3．（本题5分）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合焦距和周长，即可得离心率. 【详解】设的焦距为，由题意得的周长为， 化简得：， 所以得的离心率为. 故选：C 4．（本题5分）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【详解】设正三角形的边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 5．（本题5分）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 7．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出点到直线AB的距离和点到直线AB的距离即可求得答案. 【详解】设点到直线AB的距离为，点到直线AB的距离为， 对于双曲线，，， 所以， 所以，， 则， 所以. 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，下列结论正确的是（   ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．右焦点坐标为 D．焦点到渐近线距离为 【答案】ABCD 【分析】由双曲线方程确定参数值，进而依次求出离心率、渐近线、焦点判断各项的正误. 【详解】由知，，则离心率为，渐近线为，右焦点坐标为， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：ABCD 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】问题转化为，存在，使得，根据这一条件逐一判断即可. 【详解】A：的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点，存在着点Q（x2，y2）使得，所以满足； B：的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时，当P，Q不在双曲线同一支上，此时，所以不满足； C：的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，设P为抛物线上一点，过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以，所以 D：取P（0，1），若，则有显然不成立，所以此时不成立， 故选：AC 【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键. 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 13．（本题5分）设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为， 因此准线l与x轴的交点M的坐标为， 设点的坐标为，则有， 因为， 所以由抛物线的定义可得， 于是， 故答案为：    14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解，可设方程为，代入点的坐标可得答案； （2）根据焦距和顶点可得双曲线的方程； （3）设出方程，根据抛物线所过点，求出方程. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点，，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为双曲线的焦距为26，且经过点，所以， 所以，所以双曲线的方程为. （3）由题意设抛物线的方程为或， 因为抛物线过点，所以可得，， 即抛物线的方程为或. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线的距离， 所以， 化简得，解得，即． 17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 18．（本题17分）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【详解】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)①； ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点. 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章　圆锥曲线的方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（本题5分）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C．3 D．2 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线，下列结论正确的是（   ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．右焦点坐标为 D．焦点到渐近线距离为 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 11．（本题6分）已知曲线C的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 13．（本题5分）设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线的标准方程： (1)经过两点，的椭圆的标准方程. (2)焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程. (3)经过点的抛物线的标准方程. 16．（本题15分）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．（本题17分）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $