高中数学单元测试——第二章　直线和圆的方程（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学直线和圆的方程单元较易版测试，覆盖直线方程、圆的方程等核心知识，通过基础题与情境应用题结合，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直倾斜角、圆的方程等|注重概念辨析，基础巩固| |多选题|3/18|直线与圆位置关系等|考查综合判断，培养推理意识| |填空题|3/15|直线距离、切线方程|强化计算能力，落实运算素养| |解答题|5/77|三角形直线方程、圆的标准方程等|含台球情境（第18题）、阿波罗尼斯圆（第19题），体现几何直观与模型观念，贴合真题命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知圆的方程为，则圆的（   ） A．圆心为，半径为2 B．圆心为，半径为4 C．圆心为，半径为2 D．圆心为，半径为4 3．（本题5分）若直线与直线互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（本题5分）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11．（本题6分）过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 16．（本题15分）分别求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 17．（本题15分）已知圆和. (1)证明：圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦长. 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）已知圆的方程为，则圆的（   ） A．圆心为，半径为2 B．圆心为，半径为4 C．圆心为，半径为2 D．圆心为，半径为4 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可. 【详解】圆的方程为， 即， 所以圆心为，半径为2， 故选：A. 3．（本题5分）若直线与直线互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】根据两直线平行的条件求，代入排除直线重合即可求解. 【详解】由题意知,即,解得或. 当时，两直线方程都是，两直线重合，不合题意； 当时，直线即与直线平行，符合题意. 故选：A. 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 5．（本题5分）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得定点坐标. 【详解】因为，所以， 由，可得，所以， 当时，所以对为任意实数均成立, 故直线过定点. 故选：A. 6．（本题5分）过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确何时取最小值，结合勾股定理即可求解. 【详解】根据题意，当时，取得最小值. 因为，所以，此时. 故选：C. 7．（本题5分）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】由圆，圆心，半径为2， 如图，过圆心作，垂足为，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以此时， 所以， 则此时，即的最小值为2. 故选：C.    二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符. 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11．（本题6分）过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，当直线过圆心时弦长最大为直径，当直线l与直线垂直时弦长最小，即可知A正确，B错误，求出点的轨迹方程，利用定点到圆上点距离的最值问题即可得出CD正确. 【详解】对于A，当直线l经过圆心时，取得最大值，最大值为直径4，故A正确； 对于B，易知点在圆内，当直线l与直线垂直时，取得最小值， 此时，故B错误； 对于C，D，因为M是线段的中点，所以， 所以点M在以为直径的圆上，所以点M的轨迹方程为， 所以的最大值为， 的最小值为，故C，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 【答案】或 【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 解得或， 故答案为：或. 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可； （2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程. 【详解】（1）三角形的三个顶点，，． 则直线AC的方程为， 化为一般方程是； （2）AC边所在直线的斜率为， 则有AC边上的高所在直线的斜率为， 所以AC边上的高所在直线的方程为， 即． 16．（本题15分）分别求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将两点坐标代入求解即可； （2）联立两直线方程，求出交点坐标，进而求出圆的半径，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意得：解得：， 所以圆的标准方程为； （2）联立与， 解得：，所以交点为， 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 17．（本题15分）已知圆和. (1)证明：圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)根据两圆的一般方程求出两圆的圆心坐标及半径，只需证明即可； (2)求出公共弦所在的直线方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】（1）证明：由题意可得，， 因为, 又因为， 所以圆与圆相交； （2）解：由可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 则圆到公共弦的距离， 所以公共弦长为：. 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 【答案】(1)能使目标球B向球的球心方向运动，理由如下： 若时，沿向量的方向击打母球A，则，而， 所以，即两向量同向共线， 所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动； (2) (3)不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动，理由如下： 若，过点与点的直线方程为． 依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此， 则有，解得， 即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为， ∴母球A的球心运动的直线方程为； 若，由（2）知．又， ∴， ∴， 故为锐角． ∴点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动． 【分析】（1）根据点在母球A的球心运动的直线方程上，得到结论； （2）得到A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，设，得到方程组，求出，求出母球A的球心运动的直线方程； （3）由得到为锐角，从而得到点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； （3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【详解】（1）设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. （2）设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. （3） 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $