高中数学单元测试——第二章　直线和圆的方程（较难版01）

**基本信息** 本卷为高中数学直线和圆的方程单元较难版测试，覆盖直线方程、圆的方程及位置关系等核心知识，通过基础题与综合应用题梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直倾斜角、圆的圆心、直线平行、距离最小值等|基础巩固，考查概念辨析| |多选题|3/18|直线性质、直线与圆位置关系、弦长等|综合判断，培养推理意识| |填空题|3/15|两直线距离、切线方程、线段最小值|聚焦计算，强化空间观念| |解答题|5/67|三角形直线方程、圆的方程、两圆相交、台球情境应用、轨迹方程|18题以台球为情境，体现数学眼光；19题综合轨迹与直线位置关系，发展逻辑推理与数学语言表达|

高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（本题5分）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的斜率为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在上的截距为 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 16．（本题15分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 17．（本题15分）已知圆和. (1)证明：圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦长. 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 5．（本题5分）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可. 【详解】由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得， 即直线的定点为. 故答案为：B 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【详解】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 8．（本题5分）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】由圆，圆心，半径为2， 如图，过圆心作，垂足为，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以此时， 所以， 则此时，即的最小值为2. 故选：C.    二、多选题 9．（本题6分）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的斜率为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在上的截距为 【答案】BD 【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确； 又由，得到，所以直线斜率为，在轴上的截距为，所以选项BD正确， 又由直线，令，得到，所以选项C错误， 故选：BD. 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断；B首先判断在圆内，再根据所截弦长最短知直线与垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C由题意的轨迹是以为直径的圆，即可得圆的方程；D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可. 【详解】由题设，圆心为且半径，则，故， 所以圆C上到B的距离为2的点有一个，A错误； 由，即在圆内，故过A的直线被圆C所截得的弦长最小，只需直线与垂直，故直线为，此时，B正确； 若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为，则， 故的轨迹是以为直径的圆，所以轨迹方程为，C正确； 若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：、和两个切点所成的四边形为正方形， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，而， 故该圆上点到的最小值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 【答案】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，设切线为，应用点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用两点式可得答案； （2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案． 【详解】（1）由两点式可得：， 化简得AC边所在直线的一般方程为； （2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率． ∴BC边上的高所在直线方程为：， 化简得BC边上的高所在直线方程为． 16．（本题15分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，依题意得到方程组，解得即可； （2）设圆心坐标为，半径为，则其标准方程为，根据圆过和两点得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）解：根据题意，设圆心坐标为，半径为， 则其标准方程为， 由于点和在圆上，则有①， ②， 解可得，， 故圆的标准方程为； 17．（本题15分）已知圆和. (1)证明：圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)根据两圆的一般方程求出两圆的圆心坐标及半径，只需证明即可； (2)求出公共弦所在的直线方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】（1）证明：由题意可得，， 因为, 又因为， 所以圆与圆相交； （2）解：由可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 则圆到公共弦的距离， 所以公共弦长为：. 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 【答案】(1)能使目标球B向球的球心方向运动，理由如下： 若时，沿向量的方向击打母球A，则，而， 所以，即两向量同向共线， 所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动； (2) (3)不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动，理由如下： 若，过点与点的直线方程为． 依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此， 则有，解得， 即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为， ∴母球A的球心运动的直线方程为； 若，由（2）知．又， ∴， ∴， 故为锐角． ∴点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动． 【分析】（1）根据点在母球A的球心运动的直线方程上，得到结论； （2）得到A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，设，得到方程组，求出，求出母球A的球心运动的直线方程； （3）由得到为锐角，从而得到点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $