高中数学单元测试——第一章　空间向量与立体几何（较难版01）

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元较难版复习卷，全面覆盖空间向量运算、立体几何位置关系及度量问题，注重空间观念、运算能力与推理能力的核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称（1）、向量表示（2）、基底判断（3）|基础概念辨析，梯度起步| |多选题|3/18|空间向量性质（9）、线面关系（10）、异面直线角（11）|多角度考查，强化逻辑推理| |填空题|3/15|向量模长（12）、夹角计算（13）、二面角范围（14）|聚焦运算能力，设置动态问题| |解答题|5/77|空间向量表示（15）、线面垂直（16）、距离与面面角（17）、折叠问题（18）、存在性探究（19）|综合应用，结合《九章算术》“阳马”情境（8），突出创新探究|

高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 3．（本题5分）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 6．（本题5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 8．（本题5分）中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系，得到点坐和空间向量坐标，由空间向量的数量积求得平面的一个法向量，由空间向量的投影求得点到平面的距离. 【详解】∵平面，且平面，平面， ∴，， 在矩形中，， ∴如图建立空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 则点到平面的距离. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．（本题6分）下列命题是真命题的有    （    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三点，向量，平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标运算逐一判断即可. 【详解】∵，， ∴，则， ∴直线l与m垂直，故A正确； ∵，， ∴，则， ∴或，故B错误； ∵，∴与不共线， ∴不成立，故C错误； ∵点， ∴，． ∵向量是平面的法向量， ∴，即，解得，故D正确． 故选：AD 11．（本题6分）已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．若，则异面直线与所成的角的余弦值为 D．若三棱柱存在内切球，则 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先根据等面积法计算出内切圆的半径，可判断D. 【详解】设， 如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即，又平面，所以平面，故B正确； 对于C：若，，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D：先设的内切圆半径为，则， 所以， 则若三棱柱存在内切球，则. 故选：AB 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则______. 【答案】 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示及模长的坐标表示求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    【答案】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角大小建立不等式求解可得. 【详解】因为底面，底面， 所以，又为直角，所以两两垂直， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为为的中点，所以， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 易知，平面的一个法向量为, 由图可知，二面角的平面角为锐角，记为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：    四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 16．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2）正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . （2）因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，设，推导出底面，然后以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：连接、，设，则为的中点， 由已知，，则，， 所以为二面角的平面角，所以，因此， 因为，、平面，故底面． 以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设． 则、、、， ，， 所以，故直线与所成角为． （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 由题意可得， 因为，解得，则，故， 因此，当时，平面与平面夹角的余弦值为. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 6．（本题5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（本题6分）下列命题是真命题的有    （    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三点，向量，平面的法向量，则 11．（本题6分）已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．若，则异面直线与所成的角的余弦值为 D．若三棱柱存在内切球，则 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则______. 13．（本题5分）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 16．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $