高中数学单元测试——第三章　圆锥曲线的方程（较易版02）

**基本信息** 高中数学第三章圆锥曲线方程单元复习卷（较易版02），以基础巩固为主，融入拱桥应用、双纽线等情境，梯度覆盖定义、性质及综合应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线定义、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念直接考查，如第1题抛物线焦半径| |多选题|3/18|双曲线离心率与渐近线、抛物线弦中点|第11题结合双纽线新情境，考查距离积性质| |填空题|3/15|双曲线焦距、圆与抛物线距离最值|第13题综合圆与抛物线位置关系，培养空间观念| |解答题|5/67|抛物线方程、直线与圆锥曲线综合|第6题拱桥问题体现数学建模，第19题切线交点探究发展推理能力|

高中数学单元测试 —— 第三章　圆锥曲线的方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则. 故选：C. 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 6．（本题5分）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 7．（本题5分）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积. 【详解】由题意得，，渐近线方程为，， ，故渐近线方程为， 连接，则由对称性得， 又，所以， 故，， 由于，故， 设点关于的对称点， 则，解得， 则， 由得，解得， 故，，， 故的面积为. 故选：D 8．（本题5分）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 【答案】AB 【分析】由双曲线方程可求焦点，的坐标，结合离心率定义求离心率，根据求，再求虚轴长，由此判断ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 【详解】由，知，，， 由，得，即，， 所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误． 故选：AB． 10．（本题6分）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据中点关系求解，进而由弦长公式求解，利用抛物线焦半径公式即可求解. 【详解】易得的斜率存在，设，，， 由得，则由，得. 由，得， 所以，弦中点的纵坐标为，. 故ACD正确，B错误， 故选：ACD 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆的圆心，， 设， 则， 故答案为： 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）回答下列各题. （1）求经过点的抛物线的标准方程. （2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，，代入点坐标，即可求得答案； （2）设方程为，根据题意可得，即可求得a，b，c的值，代入方程，即可得答案. 【详解】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或， 若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：； 若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：， 故所求抛物线方程为或. （2）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为. 由题意，得，解得，，， 所以焦点在轴上的双曲线的方程为. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，则抛物线的标准方程为：. （2）由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是.    17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【详解】（1）设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. （2）假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 18．（本题17分）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】(1) (2)证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. （2）略 19．（本题17分）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 【答案】(1)() (2)答案见解析 【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线的方程； （2）若选择①证明②成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上；若选择②证明①成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出，再由直线的方程证明直线经过定点. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以、为焦点，以为实轴长的双曲线的右支, 所以，即， 又因为，所以，得， 所以曲线的方程为(). （2）若选择①证明②成立. 依题意，在双曲线右支上，此时直线的斜率必不为， 设直线方程为，，不妨设在第一象限，在第四象限. 因为，所以，且，求导得， 所以过点的直线方程为， 化简为①，同理②， 联立方程①②得,交点的横坐标为， 因为、点在直线上，所以， 所以， 所以的横坐标. 即点在定直线上. 若选择②证明①成立. 不妨设在第一象限，在第四象限.设， 因为，所以，且， 求导得，所以过点的直线方程为， 化简为①，同理② 联立方程①②得交点的横坐标为， 由题意，， 即③. 因为， 所以过直线的方程为， 化简， 整理得 由③式可得, 易知，即直线过定点.    【点睛】关键点睛：在解决第二问时，关键是由导数的几何意义得出过和过的方程，这里涉及到二级结论极点极线的知识，但大题需要证明，这里给出了导数的证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章　圆锥曲线的方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 7．（本题5分）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 8．（本题5分）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 10．（本题6分）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）回答下列各题. （1）求经过点的抛物线的标准方程. （2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 18．（本题17分）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 19．（本题17分）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $