第3章 圆锥曲线与方程（单元测试·基础卷）数学湘教版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线C：的一条渐近线的方程为，若C的焦距为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 4．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（  ） A．的周长为 B．的面积的最大值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 . 13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（15分）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 17．（15分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 19．（17分）已知点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，若． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，过的直线与轨迹交于、两点，求的内切圆面积的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B D C D A A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】 （1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 3分 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； 6分 （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 7分 由离心率为2，则， 9分 所以， 11分 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 13分 16． 【详解】 （1） 由离心率，又，则， 2分 又实轴长，所以，所以， 5分 故双曲线的标准方程为； 6分 （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 8分 由，消去，得， ∴， 12分 ∴． 15分 17．【详解】（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 2分 因此，抛物线的标准方程为； 4分 （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 6分 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； 8分 ； 10分 （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 14分 . 15分    18．【详解】 （1）由题意得：， 2分 解得，椭圆方程为： 4分 （2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 5分 设直线，代入，可得， 设，，则， ， 7分 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， 8分 O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. 10分 （3），， 即， 11分 ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即  ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 15分 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 17分 19． 【详解】 （1）设点、，由题意可知点， 由可得，所以，即， 2分 因为点在圆上，所以，即，化简得. 所以动点的轨迹的方程为. 5分 （2）因为圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，则、， 如下图所示： 在椭圆中，，，则， 易知点、分别为椭圆的左、右焦点， 易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 7分 将直线的方程与椭圆的方程联立，可得， ， 由韦达定理可得，， 9分 设的内切圆的半径为， 则， 10分 当取最大值时，取最大值， ， 13分 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的面积的最大值为， 15分 由于，故的最大值为，故内切圆面积的最大值为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由椭圆的定义求解. 【详解】因为椭圆方程为，所以，解得， 由椭圆的定义可得，又，所以， 故选：B. 2．抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的方程为，， 设点的坐标为，，， ，代入抛物线方程，得，，， 则点的坐标是. 故选：D. 3．已知双曲线C：的一条渐近线的方程为，若C的焦距为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线斜率为，可求出；再由双曲线的焦点横坐标为，可求出. 最后同时使用两个条件即可计算出. 【详解】由于双曲线的渐近线是和，故渐近线的斜率的绝对值为， 而直线即直线的斜率为，故. 又由于该双曲线的焦距为，故，从而. 从而. 故选：B. 4．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据题目信息得到方程，对方程进行化简得到点的轨迹方程. 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 5．在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：C 6．抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在渐近线上可求得，结合抛物线准线可得其焦点坐标，由此可构造方程求得，进而得到双曲线方程. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 在双曲线的一条渐近线上，又，，即； 由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为， ，解得：， 双曲线方程为：，即. 故选：D. 7．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得出，利用椭圆定义求出，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】CD 【分析】根据焦点及实轴于虚轴长度关系求得，判断A选项；求出双曲线中的值，即可得到顶点坐标，判断B选项；即可求得离心率，判断C选项；即可写出双曲线的渐近线方程，判断D选项. 【详解】由题意可知，，，，即 ∴，即，∴，A选项错误； ∴， ∴顶点坐标为，B选项错误； ∴，C选项正确； ∵，且双曲线的焦点在轴上，∴渐近线方程为，D选项正确. 故选：CD. 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（  ） A．的周长为 B．的面积的最大值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；由的面积为，结合的取值范围可求得的面积最大值，判断B；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得取值范围，从而得到的最小值，判断D. 【详解】由题可知椭圆的焦距为：，所以. 对于A，的周长为，故选项A正确； 对于B，的面积为，由，得的面积最大值为，故选项B正确； 对于C，，. 即当时，取得最小值，最小值为，故选项C错误； 对于D，将看作是椭圆上的点与点连线的斜率. 设直线的方程为， 由，得. 由，得，化简得：. 解得，所以的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据根据双曲线的定义、标准方程可得离心率. 【详解】因为双曲线， 所以，解得，即 故双曲线，所以，即 所以的离心率. 故答案为：. 13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法得，再代入点坐标即可得答案. 【详解】易知，设椭圆中心为， 不妨设坐标分别为，则有： . 两式作差可得：， 的中点为， . 即， 解得. 故可设直线的点斜式：， 整理得直线的方程为：. 故答案为：. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】结合椭圆的定义，利用余弦定理求夹角余弦值，即可求数量积. 【详解】由椭圆方程可得：，    由余弦定理得： ， 又因为，所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【详解】 （1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 3分 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； 6分 （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 7分 由离心率为2，则， 9分 所以， 11分 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 13分 16．（15分）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【详解】 （1） 由离心率，又，则， 2分 又实轴长，所以，所以， 5分 故双曲线的标准方程为； 6分 （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 8分 由，消去，得， ∴， 12分 ∴． 15分 17．（15分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 【详解】（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 2分 因此，抛物线的标准方程为； 4分 （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 6分 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； 8分 ； 10分 （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 14分 . 15分    18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 【详解】 （1）由题意得：， 2分 解得，椭圆方程为： 4分 （2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 5分 设直线，代入，可得， 设，，则， ， 7分 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， 8分 O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. 10分 （3），， 即， 11分 ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即  ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 15分 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 17分 19．（17分）已知点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，若． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，过的直线与轨迹交于、两点，求的内切圆面积的最大值． 【详解】 （1）设点、，由题意可知点， 由可得，所以，即， 2分 因为点在圆上，所以，即，化简得. 所以动点的轨迹的方程为. 5分 （2）因为圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，则、， 如下图所示： 在椭圆中，，，则， 易知点、分别为椭圆的左、右焦点， 易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 7分 将直线的方程与椭圆的方程联立，可得， ， 由韦达定理可得，， 9分 设的内切圆的半径为， 则， 10分 当取最大值时，取最大值， ， 13分 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的面积的最大值为， 15分 由于，故的最大值为，故内切圆面积的最大值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期数学单元检测卷 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线C：的一条渐近线的方程为，若C的焦距为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 4．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（  ） A．的周长为 B．的面积的最大值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为 . 13．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（15分）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 17．（15分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 19．（17分）已知点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，若． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若圆与轴的负半轴、正半轴交点分别为、，过的直线与轨迹交于、两点，求的内切圆面积的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $