高中数学单元测试——第二章　直线和圆的方程（适中版01）

**基本信息** 高中数学直线和圆的方程单元复习卷，以阿波罗尼斯圆等数学文化素材及智能AI大赛情境为载体，覆盖直线与圆核心知识，适配单元巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直倾斜角、圆的圆心、平行直线参数|基础概念辨析，如第4题点到直线距离| |多选题|3/18|直线图像、直线与圆位置关系|多维度推理，如第10题直线与圆交点判断| |填空题|3/15|平行直线距离、切线方程|运算能力考查，如第13题过点切线方程| |解答题|5/77|三角形直线方程、圆的标准方程、实际应用|综合应用，如第18题智能AI大赛矩形场地问题，第19题阿波罗尼斯圆轨迹与切线，培养数学眼光与建模能力|

高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（本题5分）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 13．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 16．（本题15分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 5．（本题5分）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【详解】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】利用直接法求得点的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设，因为，所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆. 则点到直线的距离， 故点到直线的距离的最小值为. 故答案为：B 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符. 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 【答案】AD 【分析】利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，逐一根据选项内容计算即可判断. 【详解】对于A，当时，直线为， 而圆的方程，可知圆心为， 此时点在直线上，所以圆C关于直线l对称，故A正确； 对于B，当时，直线为，此时圆心到直线的距离为， 由于圆C的半径为，所以直线l与圆C相切，只有一个公共点，故B错误； 对于C，要使得直线l与圆C没有交点，则圆心到直线的距离为， 此时不等式无解，所以不存在，使得直线l与圆C没有交点，故C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为， 所以，化简得：， 解得，故D正确. 故选：AD 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断；B首先判断在圆内，再根据所截弦长最短知直线与垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C由题意的轨迹是以为直径的圆，即可得圆的方程；D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可. 【详解】由题设，圆心为且半径，则，故， 所以圆C上到B的距离为2的点有一个，A错误； 由，即在圆内，故过A的直线被圆C所截得的弦长最小，只需直线与垂直，故直线为，此时，B正确； 若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为，则， 故的轨迹是以为直径的圆，所以轨迹方程为，C正确； 若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：、和两个切点所成的四边形为正方形， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，而， 故该圆上点到的最小值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】根据平移直线间的距离公式直接计算即可． 【详解】根据平移直线间的距离公式为． 故答案为：． 13．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可； （2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程. 【详解】（1）三角形的三个顶点，，． 则直线AC的方程为， 化为一般方程是； （2）AC边所在直线的斜率为， 则有AC边上的高所在直线的斜率为， 所以AC边上的高所在直线的方程为， 即． 16．（本题15分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得和的中点坐标为，得出球心和半径，即可求解； （2）设所求圆的方程为，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由点，可得， 且的中点坐标为，即所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为. （2）解：设所求圆的方程为， 因为在圆上， 可得，即，解得， 即， 所以所求圆的标准方程. 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 【答案】(1)A是失败点 (2)（米2）； (3) 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【详解】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 （2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） （3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 19．（本题17分）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； （3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【详解】（1）设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. （2）设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. （3） 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $