高中数学单元测试——第二章　直线和圆的方程（较易版02）

**基本信息** 本单元卷聚焦直线和圆的方程，以文化传承（如“将军饮马”问题）与生活应用（如台球运动）为情境，通过基础巩固到创新应用的梯度设计，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|斜率与倾斜角、圆的圆心、直线平行等基础概念|直接考查核心公式应用，夯实数学眼光中的几何直观| |多选题|3题18分|直线与圆位置关系、弦长计算等综合判断|通过多选项设计培养数学思维的推理能力| |填空题|3题15分|两直线距离、切线方程、“将军饮马”最短路径|融入文化情境，体现数学语言的应用意识| |解答题|5题77分|直线交点、圆的方程、两圆位置关系、轨迹问题等|如台球运动问题（数学思维）、轨迹方程推导（数学语言），契合真题综合应用趋势|

高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 7．（本题5分）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知动点到的距离为，在直线上，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题 9．（本题6分）在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 14．（本题5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线经过直线的交点． (1)若直线经过点，求直线的方程; (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 16．（本题15分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】设该直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：C. 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】求得圆心坐标后判断即可求解. 【详解】圆的圆心为，在x轴上. 故选：A 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 5．（本题5分）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 6．（本题5分）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先由点斜式求出直线的方程，再利用圆的弦长公式求解即得. 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为， 即， 圆：，圆心，半径， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：D 7．（本题5分）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）已知动点到的距离为，在直线上，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出动点的轨迹方程为圆，又在直线上，则的最小值转化为圆心到直线距离减去半径即可. 【详解】由动点到的距离为， 则，即， 所以动点的运动轨迹是圆心为，半径为的圆， 又在直线上， 由表示圆上的点到直线上点的距离， 则的最小值就为圆心到直线的距离减去圆的半径， 由圆心到直线的距离为， 则的最小值为， 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用直线的斜截式来观察斜率与截距的正负可得参数范围，从而可作出判断. 【详解】对于A，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故A正确； 对于B，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故B错误； 对于C，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故C正确； 对于D，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 【答案】AC 【分析】令，得，分析可判断A的正误；求出圆的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4，又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断；B首先判断在圆内，再根据所截弦长最短知直线与垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C由题意的轨迹是以为直径的圆，即可得圆的方程；D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可. 【详解】由题设，圆心为且半径，则，故， 所以圆C上到B的距离为2的点有一个，A错误； 由，即在圆内，故过A的直线被圆C所截得的弦长最小，只需直线与垂直，故直线为，此时，B正确； 若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为，则， 故的轨迹是以为直径的圆，所以轨迹方程为，C正确； 若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：、和两个切点所成的四边形为正方形， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，而， 故该圆上点到的最小值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 【答案】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，设切线为，应用点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 14．（本题5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线经过直线的交点． (1)若直线经过点，求直线的方程; (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程. （2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果. 【详解】（1）由得， 即直线和的交点为． 直线还经过点， 的方程为，即． （2）由直线与直线垂直， 可设它的方程为． 再把点的坐标代入，可得，解得， 故直线的方程为. 16．（本题15分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得和的中点坐标为，得出球心和半径，即可求解； （2）设所求圆的方程为，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由点，可得， 且的中点坐标为，即所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为. （2）解：设所求圆的方程为， 因为在圆上， 可得，即，解得， 即， 所以所求圆的标准方程. 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 【答案】(1)能使目标球B向球的球心方向运动，理由如下： 若时，沿向量的方向击打母球A，则，而， 所以，即两向量同向共线， 所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动； (2) (3)不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动，理由如下： 若，过点与点的直线方程为． 依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此， 则有，解得， 即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为， ∴母球A的球心运动的直线方程为； 若，由（2）知．又， ∴， ∴， 故为锐角． ∴点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动． 【分析】（1）根据点在母球A的球心运动的直线方程上，得到结论； （2）得到A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，设，得到方程组，求出，求出母球A的球心运动的直线方程； （3）由得到为锐角，从而得到点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $