高中数学单元测试——第二章　直线和圆的方程（较难版02）

**基本信息** 高中数学直线和圆的方程单元复习卷，以阿波罗尼斯圆文化素材与智能AI大赛现实情境为特色，覆盖直线倾斜角、圆的位置关系等核心知识，梯度设计适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|直线倾斜角、平行关系、距离公式|基础概念辨析，如第3题直线平行参数求解| |多选题|3题18分|直线定点、圆的对称与弦长|概念综合判断，如第10题直线与圆位置关系多选项| |填空题|3题15分|对称点、切线方程、最值问题|能力提升，如第14题动点距离最小值| |解答题|5题77分|轨迹方程、实际区域面积、综合证明|创新应用，如第18题智能AI大赛矩形场地区域面积计算，第19题轨迹方程与直线相交证明，体现数学思维与应用意识|

高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 5．（本题5分）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（本题5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 11．（本题6分）已知点，圆，则（   ） A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 14．（本题5分）已知点在直线上运动，点,.使的值最小的点坐标是________. 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 16．（本题15分）分别求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 17．（本题15分）已知圆和. (1)证明：圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦长. 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章　直线和圆的方程（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断直线的斜率，得到直线方程，再得出倾斜角. 【详解】由直线过，两点，可得不存在， 所以直线方程为，倾斜角为. 故选：C. 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 4．（本题5分）坐标原点O到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 5．（本题5分）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 6．（本题5分）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据圆的弦长的求法求得正确答案. 【详解】由，得， 则圆的圆心到直线的距离为， 则． 故选：A 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 8．（本题5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】利用直接法求得点的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设，因为，所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆. 则点到直线的距离， 故点到直线的距离的最小值为. 故答案为：B 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 【答案】BC 【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以直线的斜率，截距. 故点在第二象限，所以A中说法错误. 由整理得. 所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确. 由点斜式方程可知， 过点且斜率为的直线的方程为. 所以C中说法正确. 由斜截式方程可知， 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为. 所以D中说法错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 【答案】AD 【分析】利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，逐一根据选项内容计算即可判断. 【详解】对于A，当时，直线为， 而圆的方程，可知圆心为， 此时点在直线上，所以圆C关于直线l对称，故A正确； 对于B，当时，直线为，此时圆心到直线的距离为， 由于圆C的半径为，所以直线l与圆C相切，只有一个公共点，故B错误； 对于C，要使得直线l与圆C没有交点，则圆心到直线的距离为， 此时不等式无解，所以不存在，使得直线l与圆C没有交点，故C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为， 所以，化简得：， 解得，故D正确. 故选：AD 11．（本题6分）已知点，圆，则（   ） A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 【答案】AC 【分析】由圆与点的位置关系的判断确定A，再由点与圆心距离加半径判断B，根据圆的性质求出弦所在直线斜率求出直线方程判断C，由弦心距、半径、弦长的关系判断D. 【详解】对于A，因为，所以点在内，故A正确； 对于B，由，知点与上的点之间的最大距离为，故B错误； 对于C，由，可知弦所在直线斜率为，故弦所在直线为， 即，故C正确； 对于D，由圆的性质可知，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 【答案】或 【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 解得或， 故答案为：或. 13．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 14．（本题5分）已知点在直线上运动，点,.使的值最小的点坐标是________. 【答案】 【分析】通过找出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点的坐标; 【详解】设关于直线的对称点为，则， 解得，故， 又因为为直线上的一点，则， 当且仅当三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点即是直线与直线的交点． 因为，，所以直线的方程为， 由，解得，故所求的点的坐标为．    故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可； （2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程. 【详解】（1）三角形的三个顶点，，． 则直线AC的方程为， 化为一般方程是； （2）AC边所在直线的斜率为， 则有AC边上的高所在直线的斜率为， 所以AC边上的高所在直线的方程为， 即． 16．（本题15分）分别求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将两点坐标代入求解即可； （2）联立两直线方程，求出交点坐标，进而求出圆的半径，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意得：解得：， 所以圆的标准方程为； （2）联立与， 解得：，所以交点为， 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 17．（本题15分）已知圆和. (1)证明：圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)根据两圆的一般方程求出两圆的圆心坐标及半径，只需证明即可； (2)求出公共弦所在的直线方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】（1）证明：由题意可得，， 因为, 又因为， 所以圆与圆相交； （2）解：由可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 则圆到公共弦的距离， 所以公共弦长为：. 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 【答案】(1)A是失败点 (2)（米2）； (3) 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【详解】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 （2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） （3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $