第一章空间向量与立体几何章末测评卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元卷，通过基础巩固与综合应用梯度设计，全面考查空间向量运算及立体几何证明计算，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量共线、模长、坐标运算|基础概念辨析，如向量共线求参数| |多选|3/18|共面定理、基底、垂直判定|多维度考查空间向量性质，如共面参数取值| |填空|3/15|参数计算、线面角|简洁考查核心技能，如线面角的向量求法| |解答|5/77|向量运算、线面垂直、面面角|综合应用，如19题结合线面垂直证明与线面角取值范围，体现数学表达与逻辑推理|

第一章 空间向量与立体几何 章末测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．若平面向量与共线，则（ ） A． B． C．1 D．4 2．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 6．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 7．已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 13．已知向量，，且，则__________． 14．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(15分)已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 16．(13分)如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 17．(15分)如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 18．(17分)如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 19．(17分)在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 空间向量与立体几何 章末测评卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B B A A C BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】已知向量与共线， 则，解得． 2．B 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 3．B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量共线的判定 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 4．B 【知识点】空间中点的位置及坐标特征、空间距离公式的应用 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 5．B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 6．A 【知识点】空间位置关系的向量证明 【详解】由，得， 所以或. 7．A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】根据点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解． 【详解】由点关于x轴的对称点为， 所以． 8．C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 9．BCD 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 10．AC 【知识点】向量夹角的计算、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量基底概念及辨析、求投影向量 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 11．ACD 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 12．2 【知识点】向量减法的法则、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【详解】因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，即， 因为在三棱锥中，是不共面向量， 由空间向量基本定理知：用表示唯一， 所以，所以. 13． 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 14．/ 【知识点】线面角的向量求法 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 15．(1) (2) (3) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 16．(1)，如图所示 (2) 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 17．(1)0； (2)1. 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 18．(1) ， (2) 由（1）得， 所以，则； (3) 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）由空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用数量积求长度. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 19．(1) 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面； (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； （3）设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $