第一章 空间向量与立体几何（单元分层自测·基础通关卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 选择性必修一空间向量与立体几何单元复习卷，以基础通关为定位，通过分层题型设计覆盖核心知识，适配单元复习检测与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|空间向量运算、坐标对称、基底判断、线面角|单选夯实基础，多选综合辨析，如第10题结合平行六面体性质考查线面关系与长度计算，体现几何直观| |填空题|3/15|投影向量、四点共面、截面交线|注重空间向量工具性，如第14题通过三棱锥截面问题考查空间想象与方程思想，发展空间观念| |解答题|5/77|向量夹角、点面距离、面面垂直证明、二面角范围|分层递进，如第19题融合面面垂直证明、二面角计算与线面角应用，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第1章 空间向量与立体几何·基础通关卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A C A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为，， 所以， . ……→……→…………3分 （2）， ， ， 所以与的夹角为； ……→……→………8分 （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量，所以. ……→……→………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为，， 故，故. ……→……→…………2分 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面， ……→……→…………4分 而平面，故. ……→……→…………6分 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ……→……→…………8分 因为， 故，所以，故， ……→……→…………10分 而，设平面的法向量为， ……→……→…………11分 则即，取， ……→……→…………13分 故到平面的距离为. ……→……→…………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由平面 平面， ，得 平面， ……→……→………2分 以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， ……→……→…………4分 故，， 共面. ……→……→…………7分 （2）设，故， ……→……→…………8分 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， ……→……→…………10分 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， ……→……→…………12分 设平面 与平面夹角为 , ……→……→…………14分 即平面 与平面夹角的余弦值. ……→……→…………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）因为，所以， 所以为二面角的平面角，则， ……→……→…………2分 在中，，则， ……→……→…………4分 如图，以O为原点，在平面内垂直于的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，． ……→……→…………6分 设为平面的一个法向量， 由，得， 取，则． ……→……→…………8分 因为平面的一个法向量为，由平面平面得， 所以，即． ……→……→…………10分 （2）设二面角的大小为α， 由（1）得当时，； ……→……→…………11分 当时，， ， ……→……→…………13分 因为，所以， 所以， ……→……→…………15分 故． 综上，二面角的余弦值的取值范围为． ……→……→…………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由四边形为矩形，得， ……→……→…………1分 而平面平面， 平面平面平面，则平面， ……→……→…………3分 又平面，所以平面平面. ……→……→…………5分 （2）由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ……→……→…………7分 ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. ……→……→…………10分 （3）由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， ……→……→………11分 设平面的法向量为，则， 取，得， ……→……→…………13分 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， ……→……→…………15分 即点与点重合，所以 ……→……→…………17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第1章 空间向量与立体几何·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴对称的点的坐标为． 3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与平面所成的角为， 则. 5．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，即，解得. 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基底的性质，判断正确结果； 【解析】由题意得向量不共面， 则向量不共面，向量不共面，向量不共面；所以A，C，D正确； 因为与共面，所以B错误； 故选：ACD. 10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．的长为 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确； B选项： ， 故，，即，， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确； C选项： ，则，所以C不正确； D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接． 由，且，得为等边三角形，则． 因为平面，所以，，由三角形全等可得， 故在的平分线上，因此与平面所成角为． 由，得，即． ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为； 法二（几何法）： 连接，，，由， ，可得， 即四面体为棱长为1的正四面体． 设底面正的中心为，则， 平面，平面，， 在中，． 设与平面所成角为，则，故D正确． 11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 【答案】ABC 【解析】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 设，， 则截面与棱的交点， 则且等长； 且等长. 故四边形是平行四边形，A正确； 长方体体积，截面的对角线与交于 长方体中心，即截面过几何中心. 因此截面将长方体平分为两个全等部分，故，B正确； ，令其相等解得， 此时，满足， 四边形是平行四边形且邻边相等， 故截面是菱形，C正确； 三边平方为： ， 若，则，不符合； 若或，解得，不符合. 故无满足条件的点，使是直角三角形，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【解析】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 14．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【答案】 【解析】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，, 因为，所以，得， 此时，，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【解】（1）因为，， 所以， . ……→……→…………3分 （2）， ， ， 所以与的夹角为； ……→……→………8分 （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量，所以. ……→……→………13分 16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【解】（1）因为，， 故，故. ……→……→…………2分 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面， ……→……→…………4分 而平面，故. ……→……→…………6分 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ……→……→…………8分 因为， 故，所以，故， ……→……→…………10分 而，设平面的法向量为， ……→……→…………11分 则即，取， ……→……→…………13分 故到平面的距离为. ……→……→…………15分 17．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 【解】（1）由平面 平面， ，得 平面， ……→……→………2分 以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， ……→……→…………4分 故，， 共面. ……→……→…………7分 （2）设，故， ……→……→…………8分 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， ……→……→…………10分 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， ……→……→…………12分 设平面 与平面夹角为 , ……→……→…………14分 即平面 与平面夹角的余弦值. ……→……→…………15分 18．（本小题满分17分）如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ． (1)当平面平面时，求θ的值； (2)当时，求二面角的余弦值的取值范围． 【解】（1）因为，所以， 所以为二面角的平面角，则， ……→……→…………2分 在中，，则， ……→……→…………4分 如图，以O为原点，在平面内垂直于的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，． ……→……→…………6分 设为平面的一个法向量， 由，得， 取，则． ……→……→…………8分 因为平面的一个法向量为，由平面平面得， 所以，即． ……→……→…………10分 （2）设二面角的大小为α， 由（1）得当时，； ……→……→…………11分 当时，， ， ……→……→…………13分 因为，所以， 所以， ……→……→…………15分 故． 综上，二面角的余弦值的取值范围为． ……→……→…………17分 19．（本小题满分17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 【解】（1）由四边形为矩形，得， ……→……→…………1分 而平面平面， 平面平面平面，则平面， ……→……→…………3分 又平面，所以平面平面. ……→……→…………5分 （2）由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ……→……→…………7分 ，则， 因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 解得，所以平面与平面的夹角大小为. ……→……→…………10分 （3）由（2）得，由点在线段上，， 即，则点，而， ……→……→………11分 设平面的法向量为，则， 取，得， ……→……→…………13分 而，直线与平面所成角的大小为， 因此，解得， ……→……→…………15分 即点与点重合，所以 ……→……→…………17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第1章 空间向量与立体几何·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．的长为 D．与平面所成角的正弦值为 11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分）如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ． (1)当平面平面时，求θ的值； (2)当时，求二面角的余弦值的取值范围． 19．（本小题满分17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修一数学单元自测 第1章 空间向量与立体几何·基础通关卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．的长为 D．与平面所成角的正弦值为 11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分）如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ． (1)当平面平面时，求θ的值； (2)当时，求二面角的余弦值的取值范围． 19．（本小题满分17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成夹角的大小； (3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $