高中数学单元测试——第一章　空间向量与立体几何（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元复习较易版测试，覆盖空间直角坐标系、向量运算、线面关系等核心知识点，梯度设计合理，适配基础巩固与数学眼光、思维、语言素养的初步培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称点、向量线性表示（如四面体中点向量）|基础概念辨析，考查空间观念与抽象能力| |多选题|3/18|单位向量、共面向量、法向量应用（如长方体中向量关系）|多角度辨析，培养推理意识与批判性思维| |填空题|3/15|向量模、夹角、二面角范围（如四棱锥中二面角计算）|情境化设问，发展几何直观与运算能力| |解答题|5/77|向量表示、线面平行证明、线面角及二面角计算（如正方体折叠问题、存在性探究）|综合性问题设计，体现数学语言表达与创新意识，契合高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出到平面的距离. 【详解】根据题意可知，以点为坐标原点，分别以向量的正方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：      设相交于点，连接， 易知在正四棱锥中平面，又平面，所以； 又可知，，所以； 所以可得，则， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得，即； 易知， 设到平面的距离为，则可知. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得. 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 10．（本题6分）给出以下命题，其中错误的是（   ） A．平面的法向量分别为，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 【答案】ABD 【分析】根据平面的法向量不具有倍数关系可判断A；根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积可安短B；根据直线的方向向量的数量积判断C；根据平面的法向量的求法可判断D. 【详解】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误； 对于B，由于，，则， 故，则或，B错误； 对于C，由于，即得，C正确； 对于D，由于，故， 向量是平面的法向量，则，解得， 故，D错误， 故选：ABD 11．（本题6分）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．与所成角大小为 D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再求出交线的方向向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D，利用线线角的向量求法判断C即可. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，且设边长为2，      则，，，，，，, 可得，， 设平面的法向量为，得到， 令，解得，则， 易得平面的法向量为， 而平面与平面的交线为，可得， 设的方向向量为，则， 令，解得，，可得， 而，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 对于A，由已知得，且由题意得， 显然不在面内，则平面，故A正确， 对于BD，由,则，,则不成立，成立，故B错误，D正确， 对于C，由题意得，设与所成角为， 则，而，可得，故C正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______. 【答案】 【分析】由空间向量模长公式计算可得. 【详解】由空间向量模长计算公式得：. 故答案为： 13．（本题5分）已知点，，，则向量与的夹角为_____． 【答案】 【分析】先求向量的坐标，再利用向量的数量积坐标运算求夹角. 【详解】由，，， 则， 则， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    【答案】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角大小建立不等式求解可得. 【详解】因为底面，底面， 所以，又为直角，所以两两垂直， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为为的中点，所以， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 易知，平面的一个法向量为, 由图可知，二面角的平面角为锐角，记为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 16．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2）正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在直角三角形中利用三角形的面积求解； （2）利用空间向量法求解. 【详解】（1）为正方体，平面， 平面，， 正方体的棱长为1，，，， 设点到直线的距离为，则， ，，，，， 点到直线的距离为； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； ，， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为.    18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、，设，推导出底面，然后以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角； （2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：连接、，设，则为的中点， 由已知，，则，， 所以为二面角的平面角，所以，因此， 因为，、平面，故底面． 以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设． 则、、、， ，， 所以，故直线与所成角为． （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 由题意可得， 因为，解得，则，故， 因此，当时，平面与平面夹角的余弦值为. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 6．（本题5分）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 10．（本题6分）给出以下命题，其中错误的是（   ） A．平面的法向量分别为，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 11．（本题6分）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．与所成角大小为 D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______. 13．（本题5分）已知点，，，则向量与的夹角为_____． 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________.    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 16．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点． (1)求直线与所成角； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $