高中数学单元测试——第一章　空间向量与立体几何（较难版02）

**基本信息** 本卷聚焦空间向量与立体几何单元，通过基础概念辨析与综合应用梯度设计，适配单元复习，强化空间观念与推理能力，覆盖向量运算、线面关系等核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|点面对称、基底判断、方向向量|基础概念与空间形式观察，如第3题空间基底辨析| |多选题|3/18|空间向量性质、线面垂直|概念辨析与逻辑推理，如第10题线面关系判断| |填空题|3/15|向量模长、二面角计算|运算能力与空间想象，如第14题四棱锥二面角求解| |解答题|5/77|基底表示、线面角、存在性问题|综合应用与模型构建，如第19题多面体中平面夹角及存在性探究，体现数学思维与语言表达|

高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 2．（本题5分）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 3．（本题5分）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．（本题5分）已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据，，共面，可得存在唯一实数对，使得，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】因为，，共面，又向量不共线， 即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得, 故选：C 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得平面的一个法向量为，再由点到平面距离向量法求解即可. 【详解】平面的方程可以化为， 则平面的一个法向量为， 且平面经过点，又， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．（本题6分）下列命题是真命题的有    （    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三点，向量，平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标运算逐一判断即可. 【详解】∵，， ∴，则， ∴直线l与m垂直，故A正确； ∵，， ∴，则， ∴或，故B错误； ∵，∴与不共线， ∴不成立，故C错误； ∵点， ∴，． ∵向量是平面的法向量， ∴，即，解得，故D正确． 故选：AD 11．（本题6分）已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．若，则异面直线与所成的角的余弦值为 D．若三棱柱存在内切球，则 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先根据等面积法计算出内切圆的半径，可判断D. 【详解】设， 如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即，又平面，所以平面，故B正确； 对于C：若，，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D：先设的内切圆半径为，则， 所以， 则若三棱柱存在内切球，则. 故选：AB 三、填空题 12．（本题5分）已知空间向量，，则______. 【答案】 【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算． 【详解】， ， 故答案为：. 13．（本题5分）已知，，点在直线上运动，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】设，根据夹角公式，代入坐标运算，求其最值即可. 【详解】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得． 故答案为：.    四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】（1）在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； （2）因为,故， 又， 所以. 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面； （2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在直角三角形中利用三角形的面积求解； （2）利用空间向量法求解. 【详解】（1）为正方体，平面， 平面，， 正方体的棱长为1，，，， 设点到直线的距离为，则， ，，，，， 点到直线的距离为； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； ，， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为.    18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的余弦值； （2）计算出平面的一个法向量的坐标，假设存在点，设，其中，求出的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解. 【详解】（1）解：，，，得， 由题意，因为，所以，， 又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. （2）解：由（1）得，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 假设存在点，设，其中， ， 由已知可得， 得，即，解得或， 因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（本题5分）已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（本题6分）下列命题是真命题的有    （    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三点，向量，平面的法向量，则 11．（本题6分）已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．若，则异面直线与所成的角的余弦值为 D．若三棱柱存在内切球，则 三、填空题 12．（本题5分）已知空间向量，，则______. 13．（本题5分）已知，，点在直线上运动，则的最大值为_____. 14．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则______．    四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $