第3章 空间向量及其应用（单元测试·提升卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 空间向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则 . 2．已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 3．，，则向量在向量上的投影向量是 ． 4．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 5．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 6．在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为 . 7．如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    8．如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为 .      9．在长方体中，，动点满足，当与垂直时，的值为 . 10．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 11．如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是 .    12．如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：    （1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（    ） A．①真②假 B．①②全真 C．①假②真 D．①②全假 16．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 18．已知正方体的棱长为2.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 19．如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 20．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 21．四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章 空间向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则 . 2．已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为 ． 3．，，则向量在向量上的投影向量是 ． 4．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 5．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 6．在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为 . 7．如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    8．如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为 .      9．在长方体中，，动点满足，当与垂直时，的值为 . 10．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 11．如图，正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是 .    12．如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：    （1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变. 其中所有正确的结论的序号是 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点:集合中的任意三个不同点均满足：存在不全为的实数，使得．已知，，则属于集合的点可以是（   ）． A． B． C． D． 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，给出下列两个命题： ①若，则异面直线和所成的角的余弦值为 ②若，则点到平面的距离为 则下列选项正确的是（    ） A．①真②假 B．①②全真 C．①假②真 D．①②全假 16．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 18．已知正方体的棱长为2.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 19．如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动， (1)证明：直线平面； (2)若，求直线和平面的所成角． 20．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 21．四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学□□☐□学□□□□☐ 第3章空间向量及其应用·能力提升·口口口口 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.-152.4 3.-1,0,-14. 5.20W14 6.2 √2 15 7.2 8.89.3 10.3 11.35 12.(1)(3)(4) 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正 确选项。) 13 14 15 16 B D B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.) 17.(14分) 【详解】a)0D=o丽+0c=6+d. D=B+AC到=o丽-01+0c-0列=-2a+6+(6分) (2)因为0A=0C=20B=2∠A0C=∠B0C=∠A0B=90 所以(a,6}=6,=a,=2同===2， 所以a-b=a:c=6c=0 0E-丽+死-0i+}而-丽+00-01-0+0D-+点+若， 3 6 所以0E.0D 12 12 12 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(14分) BB 【详解】(1)以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴， 为z轴建立如图所示的坐标系 B D A B D 由正方体1BCD-4BCD的棱长为2知12,00，B0,00,D2,20,C0,22, 则4C=(-22,2,8D=(22,0 因为1CBD-=(-2到×2+2×2+2×0=0，所以4C1BD,所以4G1BD:（7分) (2) BC=0,2,2BD=(2,2,0) [2b+2c=0 设平面C,BD的法向量为i=(a,b,c),因为元⊥BC，元1BD,所以2a+2b=0, 令6=，则a=-1,c=-,所以i=(-1山， 设点A到平面CBD的距离为d,B1=(20,0) 则d、 历B225 V1+1+1-3…(14分) 19.(14分) 【详解】(1)以D为原点，以射 D1DCDD为轴.'轴.2轴的正半轴，建立空间直角坐标系.如图： 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 设Pxx,0,42,03列，C02,0,B(2,23,D(0,03引，直线4P的-个方向向量为4P=(x-26-3) 又CB=(20,3到，CD=0,-2,3),设1=(G,,2是平面CBD的一个法向量， iCB=0 「2x+3z=0 则n-cD=0得-2y+3z=0:令2=-2则x=3,y=-3 于是平面CBD的一个法向量=(3,3，-2)， 于是4P.i=3到x-2-3x+6=0,所以4P1i,又直线4Pc平面CBD, 所以直线4P以平面C80.…(7分) (2)设0为所求角，由(1)可知，D那=x0:D丽=2+r+0-5。 解特负童合去)，P公)小不(2 平面ABCD的-个法向量元=A4=00,1,AP.元=- 3 ×0+2×0-3×1=-3, 2 不--守.-1 于是in0=os<,4P=-上3=346 1xV4623, 2 F以直线AP和平面ABCD的所成角为arcsin3V46 23.…(14分) 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(18分) AO 【详解】(1)证明：连接， 因 ABCD-ABCD是底面边长为2的正四棱柱， 所以A=CG,M4CC, 故四边形4CC为平行四边形，则1C=4G,AC/AG, 又O为4G与BD的交点，0为MC与BD的交点， 所以10=0G,且 AOIlOC 故四边形 0C0为平行四边形， 所以100C,又10C平面180,0C不在平 ABD内 所以C0/平面 AB D ;…（6分) (2)以4为坐标原点， AB,4可，AA分别为，火2轴正方向建立空间直角坐标系， D B A D,立 则B2,00,D02,0,C(2,20,设14=h,则40,0，， 设平面1B0的一个法向量为m=(x,81=(-20,川，80=(-22,0 m⊥B,A mBA=-2x+hz =0 则m1BD,则m-BD=-2x+2y=0, 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (hh 令 =1则x=y2 故m (22, o2og2 点到平面 的距离为： h2.h2. h2、 2 C ABD V4+4+1 V2*1 解得h=V6 , h=v6 故正四棱柱ABCD-ABCD的高为”=3；…(12分) (3) ZA D D B 设4=h,则10,0，川 由2)每黄84的一个法的品为-台号到 设P2,2,0≤1≤h,则 AP=(2,2,t-h) P.m h+t 5 则AF网 V2+1FP-2++8 h2 h+i 故+h+r8兰？.设=4h2训 5h2 则74hs+4h+8Σ×V2+1, 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32 22 +1 故1-4h+4h+8 52 [你 3h2 则V-4hu+4r+8到d 之+在上有解 2h'h 2h1 因为y=4+8到2-4hu+1的对称轴为“=4+82h: 故疗存≤到4h+8到r2-4hm+1s8+R 2 故方5， 2，故8+F≤2×V2 +1s h 2, h2 3h2.,）h2 8h2 故8+F2+2,所以8年你≤3+6≤4，故≥6， 故线段CG的取值范围为[V6,+ .…(18分) 21.(14分) 【详解】(1)PA=PB,O是AB中点，.PO⊥AB, :平面PAB⊥平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,POC平面PAB, .PO⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.PO⊥CD, :AB=2,O是AB中点，AO=BO=1, ∠ABC=90°BC=1OC=V2 AD|BC,.∠BAC=90, AD=3.OD=10 在AD上取点N,使得AN=1,∴.AN/IBC且AN=BC, .四边形ABCN为矩形，·∠CND=90°，CN=AB=2, AD=3 :.ND=2.CD=22 在△C0D中，：CD=25,0D=i0,0C=2 .OC2 +CD2=OD2,..OC L CD, :PO⊥CD,OC∩PO=O,OCc平面POC,OPc平面POC, .CD⊥平面POC: 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N >D …(6分) (2)取CD中点M,连接OM,则OM1/BC, 以O为原点，以OB,OM,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， OP=h,BC=1,AB=2,AD=3, 则 (0,0,1)A(-1,0,0)B(1,0,0)C1,1,0)D(-1,3,0)P(0,0,M C⑦=(-2,20)，PD=(-13,-),设平面CPD的法向量为=，，2)， CD.元=0「-2x+2y=0 园阳0六无=0：取5=1解得万=1云则m=原， PD=(-1,3-0,oD-(-l3,0),设平面OPD的法向量为=4,2）， 0Di2=0,-x2+3y2=0 元PD=0,-+3y-亿，=0，取为=1解得3=3,2=0=61,0 =原，-2+京，=a0,而， 4 ..cos 元…元2 4 , n2=4' 设二面角C-PD-O的平面角为a,则 na=25 .0ss5 5 4 4 lcos4=cos元，元'V2+ ,h=6 , 3, 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P A D(12分) M (3)假设在侧棱PC上存在点M,使得B PC BM//POD 平面 设M(o,2).C1,10)P0,0,h) 设CM=CP0<<),~CW=(G-ly-l),Cp=(-1,-1, (-1,%-1,zo)=1(-1,-1,h).x=-2+1,%=-元+1,20=h2 .M-+1,-2+1,h2) BL,0,0).BM=(-2,-元+L,h2) :平面OPD的法向量为=B,L0), :丽0=0，-3说+（←+D=0,-, 有在Aw.能M平百paD CM 1 PC4…(18分) 8/8命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第3章空间向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.己知平面a∥平面B,0与B的法向量分别为m,,且m=(1,-2,5),n=(-3,6,z),则z= 【答案】-15 【详解】因为平面a∥平面阝，a与B的法向量分别为m,,所以mi, 2=-3 所以=m,即(-3,6，z)=(2,-22,52),所以-22=6， 5λ=z 2=-3 解得 2=-15'所以z=-15 故答案为：-15 2.己知四面体ABCD,向量AB=1,0,-1),CD=(-1,0,0),则异面直线AB、CD所成角的大小为 【答案】乃 【详解】向量AB=1,0,-1,CD=(-1,0,0), 则cos(AB,CD)= AB.CD (1,0,-1-1,0,0)V2 AB.C可 V1+0+1×1+0+02 设异面直线48、CD所成角的大小为0，则cas0=ks服G可引=要 所以0=子 故答案为：4 3.a=(-2,1,0),b=(1,0,),则向量a在向量五上的投影向量是 【答案】(-1,0，-1) 【详解】向量在向量方上的投影向量是： 1/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 月6有5- 故答案为：（-1,0，-1 4.已知ā为单位向量6=(1,0,0)，若a-√2-1，则a在石上的投影向量的坐标为 【答案】 ,0,0 【详解】a=6=1, 由题可得：a-2i-a-2)=a2-2a5+(2 =1+2-22a-6=1,可得a6= 2 -b= 故答案为： 00 5.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.己知水库底面与水坝斜面所成的二面 角的大小为150°，测得从D、C两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为DA=20√3m、CB=40m, 且AB=20m,则甲乙两人相距 m. B A d 【答案】20√14 【详解】由题意可得DC=DA+AB+BC, DCP=(DA+AB+BC=DA'+AB'+BC+2DA-AB+2BC.DA+24B.BC, 而DA=20√5m、CB=40m,且AB=20m,水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150°， 可知(BC,DA)=180°-150°=30°，又DA.AB=0,AB.BC=0, 故DcP=20n5+202+402+2×205×40x5-5600, 2 故DC上2014(m), 2/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：20√14 6.在四面体ABCD中，P为空间中一点，且满足3PA+PB+PC+PD=0,若四面体ABCD的体积为4，则 四面体PBCD的体积为 【答案】2 【详解】设E是BC的中点，PB+PC=2PE,又3PA+PB+PC+PD=0, ..3P4+2PE+PD=0,:.2P4+2PE+P4+PD=0,.2(PA+PE)+(PA+PD)=0, 设M是AE的中点，N是AD的中点，PA+PE=2PM,PA+PD=2PN, 4PM+2PN=0,.PN=-2PM,.P在线段MN上且靠近M的三等分点处， 又线段MN为△AED的中位线，：，MN IIED, 1 *4s2 A到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的2倍，V。=c= 故答案为：2 M B D 7.如图，在棱长均为1的平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，∠AAB=∠AAD=∠DAB=60°，则 4C= D B 【答案】√2 【详解】如下图所示： 3/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C A AC=AC-AA=DC+AD-AA AB+AD-AA, B AC=AB+AD-A4)=AB+AD+AA+24B.AD-24B.AA-2AD.A4 平行六面体棱长均为1， AD =4B=A4 =1, 又：∠AAB=∠A,AD=∠DAB=60 BaD-丽Dcs60-丽4-G4cos60=D=而cos60- :4C-=2+1+1+2x-2x-2x5-5. 2 2 2 故答案为：√2 8.如图，正八面体ABCDEF棱长为4，空间动点P满足PA+PB=2,则BP.CD的最大值为 【答案】8 【详解】设AB的中点为M,由PA+PB=2PM=2,则PM=1, 所以点P落在以M为球心，以1为半径的球上， 在正八面体ABCDEF中，BE=CD, BP.CD=(BM+MP.BE=BM BE+MP.BE =2×4×c0s60°+1x4×c0sMP,BE=4+4 cos MP,BE, 而cos MP,.BE∈[-1,1，则BP.CD=4+4 cos MP,BE∈[0,8]， 4/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以BP.CD的最大值为8 故答案为：8 9.在长方体ABCD-A,B,CD,中，DD,=2AB=2BC=2,动点P满足D,P=入DB(0<元<1，当AP与CP垂 直时，入的值为 【答1 【详解】由题意，以D为坐标原点，以DA,DC,DD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直 角坐标系D-3z,如图所示， 则A1,0,0),B(1,1,0,C(0,1,0),D0,0,2), 可得D,B=(1,1,-2),得DP=2D,B=(2,2,-22), ZA D 所以AP=AD+DP=(2-1,元，-2元+2)，CP=CD+DP=(2,2-1,-2元+2)， 由AP1CP,可得P.CP=0,即2元(2-1)+4元-2=0，解得元=2或2=1， 3 因为0<2<1，所以实数2的值为 故答案为：3 10.阅读材料：空间直角坐标系O-z中，过点P(x,yo,zo)且一个法向量为i=a,b,c的平面α的方程为 5/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ax-x+b(y-yo)+cz-z。=0.阅读上面材料，解决下面问题：己知平面的方程为x-2y+z-7=0, 直线1是两平面x+y+2=0与y-z+2=0的交线，则直线1与平面α所成角的正弦值为】 【答案】 3 【详解】设直线1的方向向量为1=(x,八，z),由材料可知平面x-2y+z-7=0的一个法向量=(1，-2，)， 平面x+y+2=0的一个法向量2=(1,1,0)，平面y-z+2=0的一个法向量n=(0,1,-), 因为直线1是两平面x+y+2=0与y-z+2=0的交线，则有7⊥m,i⊥，， 即 7m=0x+y=0 少-z=0' 取x=1,则7=(1，-1，-1， 7.m=0 所以cos,) 5×63,故则直线/与平面α所成角的正弦值为2 1+2-1V2 故答案为： 2 11.如图，正方体ABCD-A,B,CD,中，E是棱BC的中点，F是侧面BCCB,上的动点，且AF/I平面ADE ,则AF与平面BCCB,所成角的余弦值构成的集合是 D 【答案】 3’5 【详解】在正方体ABCD-A,B,C,D,中，建立如图所示空间直角坐标系， 令4B=1,则4100,0(00，E2104L0. 设F(m,1,n,0≤m≤1,0≤n≤1， 则孤=-0.正-（0人4F=(m-Ln-小， 设平面ADE的法向量为万=x,y,z, 6/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 i·AD=-x+z=0 nAE=-1x +y=0’令r=2,得i=(21,2, 由AF//平面ADE,得n·A,F=0, 即2(m-+1+2(n-=0,化简得m+n=3 而AF=Vm-1)2+(n-1)2+1,平面BCCB的法向量为m=(01,0), 设AF与平面BCCB,所成角为O, m·AF sin0=cosm,AF= AF Vm-1)2+(n-12+1 2 3 +n吃则 ；m≤1，即≤m≤，又0≤m≤1，故2≤m≤1， 故2四+8[8引 2522] 则cos0=V1-sin20∈ 即A,F与平面BCC,B,所成角的余弦值构成的集合是 D B D E 故答案为： 15 3'5 12.如图，在正方体ABCD-A,BCD,中，E为棱B,C的中点动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下 7/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 列四个结论： D B (1)存在点P,使得PA=PE;(2)存在点P,使得BD⊥平面PAE;(3)△PA,E的面积越来越小；(4) 四面体A,PB,E的体积不变.其中所有正确的结论的序号是 【答案】(1)(3)(4) 【详解】设正方体棱长为2，DP=m, 由AA⊥平面ABCD,APC平面ABCD得AA⊥AP,同理PC⊥EC, 所以PA=AA2+AD2+DP2=8+m2,PE2=PC2+CC2+C,E2=4+(2-m)2+1=5+(2-m)2, 由8+m-5+(2-P得m=子存在P使得PA=PE,正确， 正方体中，CD∥平面AB,CD,P∈CD,所以P到平面A,B,CD的距离不变， 即P到平面AB,E的距离不变，而△A,B,E面积不变，因此三棱锥P-A,B,E,即四面体APB,E的体积不变， (4)正确； 以DA,DC,DD,为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图， D B D P 正方体棱长为2，则A1(2,0,2),E(1,2,2),B(2,2,0),D(0,0,2),A,E=(-1,2,0, BD=(-2,-2,2),BD,·A,E=-2≠0，所以BD不可能与AE垂直，故BD⊥平面PAE也不可能成立，故(2) 8/20 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 错误； 设P0,m,0),(0≤m≤2)，PE=1,2-m,2),PE=V+(m-2y+4=Vm2-4m+9,4E=V5, 所以cos(PE,4E=4,2-m,212,0) 3-2m 5m2-4m+95√m2-4m+9 设P到直线A,E的距离为d,则 d=PElsin(PE,AE)=m2-4m+9 3-2m Vm2-8m+36_V(m-4)2+20 √5.√m2-4m+9 5 5 由二次函数性质知0≤m≤2时，y=(m-4)2+20递减，所以d递减，又A,E=√5不变， 所以4PE的面积为4Ed递减，(3)正确， 综上：(1)(3)(4)正确 故答案为：(1)(3)(4) 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个 正确选项。) 13.设直线1的方向向量是a,平面a的法向量是，则a⊥n”是“l11a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当a⊥n时，直线l∥a或直线l在平面a上，故充分性不成立， 当1∥a时，则必有a⊥n,必要性成立， 故a⊥n是IMa的必要不充分条件 故选：B 14.定义一个集合2，集合中的元素是空间内的点：集合2中的任意三个不同点P,P2,P均满足：存在不全为 0的实数2,22,23，使得2,0P+元，0E,+10P=0.已知1,0,0)eQ,(1,2,0)E2,则属于集合Ω的点可以是 (). A.（0,0,0 B.-1,0,0 C.(0,-1,0) D.（0,0,-1 【答案】D 【详解】由存在不全为0的实数入，22,23，使得10P+10E,+1,0E=0,等价于向量0P,0P,.0E共面， 9/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以集合Ω是经过原点0(0,0,0)的一个平面 因(1,0,0)∈0,1,2,0)2，则点1,2,0)不在这个平面内，而(1,0,0)在这个平面内， 于是过原点(0,0,0)，(1,0,0和正确选项中的点的平面不经过点1,2,0)， 即点1,2,0)和原点、点1,0,0)及正确选项中的点不共面 A选项，(1,0,0)，1,2,0)，(0,0,0)共面，故A错误 B选项，(0,0,0)，(1,0,0)，(1,2,0)，（-1,0,0共面于xOy平面，故B错误： C选项，(0,0,0)，(1,0,0)，(1,2,0)，(0，-1,0共面于xOy平面，故C错误； D选项，(0,0,0)，(1,0,0)，(1,2,0)，(0,0，-1不共面，故D正确： 故选：D 15.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F分别为BC,AC的中点，AC=2,给出下列两个命题： B ①若AA=5,则异面直线F和BC所成的角的余弦值为} ②若AA,=V5,则点C到平面AEF的距离为239 13 则下列选项正确的是() A.①真②假 B.①②全真 C.①假②真 D.①②全假 【答案】B 【详解】如图， 10/20