高中数学单元测试——第五章三角函数（适中版01）

**基本信息** 高中数学三角函数单元复习卷，覆盖终边相同角、图像变换、性质应用等核心知识，通过基础题、综合题及摩天轮实际情境题，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、定义域、三角函数定义|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|象限角三角函数值、余切函数新定义|创新情境，考查批判性思维| |填空题|3/15|两角和差公式、函数定义域值域|聚焦易错点，强化运算能力| |解答题|5/77|图像绘制、单调性、摩天轮实际应用|综合应用，如摩天轮问题体现数学建模，培养用数学语言表达现实世界能力|

高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将角化成角度，并写出与其终边相同的角的形式，通过各选项的角依次检验即得. 【详解】因为，而与终边相同的角可表示为， 对于A，因，不是的整倍数，故A错误； 对于B，因，不是的整倍数，故B错误； 对于C，因，不是的整倍数，故C错误； 对于D，因，是的整倍数，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 3．（本题5分）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 4．（本题5分）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【详解】原式 ． 故选：C. 5．（本题5分）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 由正三角形性质可算得其高，也即扇形半径，由扇形面积公式可算得答案. 【详解】由题意，当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 该扇形所对的圆心角为，而边长为的正三角形的高为， 由扇形面积公式可得该扇形面积为. 故选：B. 6．（本题5分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边所在的直线经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用三角函数定义得出，再应用诱导公式结合二倍角公式计算，最后弦化切计算求解. 【详解】 因为角的终边所在的直线经过点，所以， 则. 故选：B. 7．（本题5分）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 8．（本题5分）已知，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或5 【答案】D 【分析】利用正弦二倍角公式以及同角三角函数关系式结合已知条件先求出的值，然后利用正切的两角和公式展开求解即可. 【详解】由，则， 所以，即， 即，解得：或， 当时，， 当时，， 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用诱导公式求解A选项，利用同角三角函数平方关系求解B选项，再利用同角三角形函数的商数关系求解C选项，利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求解D选项. 【详解】A选项，由诱导公式得：，A正确； B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值与最小值之差为1 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数 【答案】AD 【分析】将函数通过恒等变换化为，后按照最值，单调区间，对称中心的求法求解即可判断ABC．D选项运用图像变换结合偶函数定义可解. 【详解】 . 则函数,，之差为，则A正确． ，则区间上有增有减，则B错误. 将代入解析式得，，则不是对称中心，则C错误. 将的图象向左平移个单位长度得到. 则,则是偶函数，则D正确. 故选：AD 11．（本题6分）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】先证明，由此可得，再结合正切函数的定义域求函数的定义域，判断A，根据正切函数的对称性求函数的对称中心判断B，根据正切函数的单调性求函数的单调递减区间判断C，求函数的图象关于直线对称的图象的函数解析式，判断D. 【详解】A选项，因为， 所以， 由有意义可得，， 所以，， 所以函数的定义域为，A错误； B选项，因为， 令，，可得，， 所以图象的对称中心为，B正确； C选项，令，， 可得，， 所以的单调递减区间为，C正确； D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点， 则点关于直线的对称点在函数的图象上， 所以，所以， 所以与的图象关于直线对称，D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（本题5分）已知(均是锐角),则的值为_______. 【答案】 【分析】先求出的值，再求的范围，再求出的值. 【详解】由题得， 因为均是锐角， ， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查和角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 13．（本题5分）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出、的解后结合值域可求的取值范围. 【详解】令，则，，故存在，使得， 令，则，， 因为值域为，故或， 若，则； 若，则； 故， 故答案为： 14．（本题5分）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】由题意可得的最小正周期为，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和． 【详解】函数是定义在上的奇函数，则， 又满足，可得的最小正周期为， 所以，则函数关于点对称，即， 又当时，， 所以 ． 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： (1)sin x>0； (2)sin x<0. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用五点法作图作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图， （1）由图象可得当x∈(0，π)时，sin x>0. （2）当x∈(－π，0)时，sin x<0. 【详解】（1）利用五点法作图． 根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin x>0， 在x轴下方时，－sin x<0， 当x∈(0，π)时，－sin x<0，sin x>0. （2）当x∈(－π，0)时，－sin x>0，sin x<0. 16．（本题15分）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为． (1)求在上的单调递增区间； (2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可； （2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可, 【详解】（1） ， 由题意知，的最小正周期为，所以，解得， ∴， 令，解得 取，则取，则， 所以在上的单调递增区间为． （2）由（1）知， 当时，， 由的对称性可知，解得， 所以. 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 【答案】(1)最小正周期为；振幅为；初相为；对称轴方程为. (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质来求解最小正周期、振幅、初相和对称轴方程. （2）先根据平移规律得到的表达式，再结合的取值范围求解其值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为；振幅为；初相为； 对称轴方程为，解得. （2）由题意知，. 因为，所以，所以. 所以. 故函数的值域为. 18．（本题17分）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式； （2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（本题5分）化简（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边所在的直线经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或5 二、多选题 9．（本题6分）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值与最小值之差为1 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数 11．（本题6分）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 三、填空题 12．（本题5分）已知(均是锐角),则的值为_______. 13．（本题5分）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______. 14．（本题5分）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 四、解答题 15．（本题13分）作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： (1)sin x>0； (2)sin x<0. 16．（本题15分）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为． (1)求在上的单调递增区间； (2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值． 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 18．（本题17分）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $