第四章 指数函数与对数函数 章末复习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一数学指数函数与对数函数单元复习基础卷，涵盖选择、多选等4类题型，结合人口模型、退耕还林等真实情境，落实数学眼光、思维与语言素养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8小题|指数对数运算、图像变换|基础概念辨析，如指数幂运算（题1）| |多选题|3小题|函数图像与性质、实际应用|结合病毒感染模型（题10），考查推理能力| |填空题|3小题|函数交点、方程解|分段函数交点问题（题13），落实几何直观| |解答题|5小题|模型构建、函数综合|退耕还林生物量模型（题15），体现模型意识与应用能力|

第四章 指数函数与对数函数 章末复习【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.设a>0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，mynx＝a，则xyz的值为 （      ）  A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【解析】∵m＝ax，∴my＝(ax)y＝axy，又n＝ay，则nx＝(ay)x＝axy， ∴mynx＝axy·axy＝a2xy＝a， ∴2xy＝，解得xyz＝2.故选C. 2.（2025-2026·浙江杭州高一上期中）某网红城市鹅城人口模型近似为（单位：万人），其中表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到60万的年份大约是（）(参考数据： A.2037年 B.2047年 C.2057年 D.2067年 【答案】C 【解析】由鹅城人口数量达到60万,得, 故, 由自然对数的性质,得, 由,代入, 得, 故, 由表示2015年,得. 故选:C. 3.（2025-2026·福建泉州高二上期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【答案】B 【解析】由得,得; 因为函数的图象向右平移1个单位得的图象, 故只需将的图象向右平移1个单位. 故选:B. 4.已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝（      ）  A.1 B.4 C.1或4 D.或4 【答案】B 【解析】由题可得lg (x－2y)2＝lg (xy)， 所以(x－2y)2＝xy， 即x2－5xy＋4y2＝0， 所以(x－y)(x－4y)＝0， 解得x＝y或x＝4y， 所以＝1或＝4． 又因为 所以>2，所以＝4．故选B． 5.已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为 （      ）  A.y＝log2x B.y＝log3x C.y＝x D.y＝x 【答案】C 【解析】设对数函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，M(9，－2)代入可得－2＝loga9＝logaa-2，所以a-2＝9，＝9，a＝，则对数函数的解析式为y＝x.故选C. 6.（2025-2026·广东深圳高二下期末）已知，，，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由指数函数单调性得，结合指数函数性质得，即. 由对数函数单调性得，由此可得. 故选：A. 7.（2025-2026·河南南阳高二下期末）已知则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函数在上单调递增，得. 由函数在上单调递减，得. 由函数在上单调递减，得. 由此可得. 故选：C. 8.（2025-2026·河北沧州高二下期末）已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原方程因式分解得， 由此可得原方程等价于或. 结合分段函数的图象可知，有个不同的实数根， 要使原方程恰有个不同的实数根，需有个不同的实数根. 由的分段单调性与值域可得，当时， 有个不同的实数根，故的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·福建三明高一下期中）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由函数的图象过点得,即. 对于选项A: 函数为,因为,所以函数单调递减; 由得,即函数过点,故A正确. 对于选项B: 函数为,由,得函数为偶函数; 由幂函数性质,当指数为时,函数在上单调递减,在上单调递增,故B正确. 对于选项C: 函数为,由得函数为偶函数;当时,单调递增, 当时,单调递减,结合指数函数图象可知C错误. 对于选项D: 函数为,由绝对值性质,当时,,此时; 当时,,此时, 故函数图象为图象在轴下方的部分翻折至轴上方,故D正确. 故选:ABD. 10.（2025-2026·黑龙江哈尔滨高一上期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（） A.疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B.随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C.估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D.根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【解析】由图象得,, 代入得, 解得,, 故. 对于选项A：当时,时,时, 第一周到第二周新增千人, 第二周到第三周新增千人, 两次新增人数不相等,故A错误. 对于选项B：第周感染人数为, 第周为,第周为, 第周新增, 第周新增, 故后一周新增感染人数是前一周的2倍,B正确. 对于选项C：当时,时, 感染人数翻一番所需时间为1周,故C正确. 对于选项D：一个月约4周, 当时千人, 故疫情发生一个月后感染人数会超过8000人,D正确. 答案为BCD. 11.（2025-2026·山西长治高一上期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（） A. B. C. D.函数有8个零点 【答案】BCD 【解析】. 当时，. 在上单调递减，在上单调递增. 且. 当时，. 故在上单调递增，在上单调递减. 方程有四个不同根等价于与的图象有个交点. 由此可得.故A错误. 由图象得.即.解得.故B正确. 由二次函数对称性得. 所以.且. . 由得. 整理得,即. 所以.故C正确. 令，则等价于. 当时，,解得. 当时，由，解得. 当时，对应个不同实根. 当时，无实根. 因为，结合的图象性质得, 当时，对应个不同实根. 当时，对应个不同实根. 合计共有个不同实根,故有个零点.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·河南南阳高二下期末）                   ． 【答案】 【解析】原式，由对数运算性质化简得，结合，，计算得. 13.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是                   . 【答案】(0，1] 【解析】根据指数函数和对数函数的图象，画出f(x)的图象如图所示，数形结合可知，要满足题意，只需a∈(0，1]. 14.（2025-2026·海南海口高一上期末）已知函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是                   . 【答案】 【解析】画出的图像， 由函数图像得： 时，方程无解. 时，方程有个不同的实数解. 时，方程有个不同的实数解. 时，方程有个不同的实数解. 时，方程有个不同的实数解. 原方程有个不同的实数解. 等价于在和上各有一个实数解. 设. 由二次函数零点分布得不等式组. 即解得. 故实数的取值范围是. 四、解答题（共5小题） 15.退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜地造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，2025年1月底的生物量为到了4月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量(单位：)与月份（单位：月）的内在关系，即且与． (1) 分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式； (2)若测得2025年5月底生物量约为判断上述两个函数模型中哪个更合适． 【答案】解：(1)若由题意有解得 所以 若由 解得所以. (2)若用 当时若用 当时 所以用模型更合适. 16.（2025-2026·山东潍坊高一上阶段测试）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】解：(1)由,得; 由,得, 故 (2)因为在上单调递增, 由,得解得, 故实数的取值范围是. (3)由方程存在实数解,得存在实数解; 当时,;当时,,故的值域为, 因此,整理得,解得或, 故实数的取值范围是. 17.（2024-2025·山东临沂高二下期末）已知函数是偶函数. (1)求； (2)设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】解：(1)函数是偶函数，故对任意恒成立，代入整理得，化简左边得，故恒成立，解得. (2)由(1)得，函数有且只有一个零点等价于方程有唯一实根，结合对数单调性得，整理得，其中令，得，且原对数定义域要求. 当时，方程化为，解得，验证得定义域条件成立，符合题意. 当时，若方程有两个相等的实根，由判别式Δ，解得或，当时对应根，不符合要求，当时对应根，验证定义域条件成立，符合要求. 当且方程有两个不等实根时，方程仅有一个正根等价于两根一正一负，由韦达定理得，解得，此时对正根恒有，符合题意. 综上可得的取值范围为. 18.（2024-2025·黑龙江高二下期末）已知函数. (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】解：(1)的定义域为，化简得，由，故为偶函数. (2)由均值不等式得，当且仅当时等号成立，代入得，故的最小值为. (3)由得，求导得，当时，故在上单调递增. 结合为偶函数，得在上单调递减. 若仅有一个实数根，则，此时方程仅有两个不同的实数根，不合题意. 因此应有两个不同的实数根，即方程和共有四个不同的实数根，要求两个方程各有两个不同实根， 故，，解得且，结合单调性得， 故的取值范围为. 19.（2025-2026·浙江杭州高一上期中）已知函数． (1)当时，判断函数的奇偶性，并给出理由； (2)若函数为奇函数，求实数的值，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：(1)由得,函数定义域为,关于原点对称; 由于;因为且, 故函数为非奇非偶函数. (2)解法一:由为奇函数且定义域为,得,即,解得; 此时,因为,故时为奇函数. 解法二:由为奇函数得恒成立,即; 分子分母同乘化简左边得,右边为,故, 即对任意恒成立,解得. (3)由为奇函数得等价于; 由在上递增,故递减,得在上单调递增, 因此恒成立; 由得,故,得; 因为对任意恒成立,故,即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 章末复习【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.设a>0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，mynx＝a，则xyz的值为 （      ）  A.0 B.1 C.2 D.4 2.（2025-2026·浙江杭州高一上期中）某网红城市鹅城人口模型近似为（单位：万人），其中表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到60万的年份大约是（）(参考数据： A.2037年 B.2047年 C.2057年 D.2067年 3.（2025-2026·福建泉州高二上期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 4.已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝（      ）  A.1 B.4 C.1或4 D.或4 5.已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为 （      ）  A.y＝log2x B.y＝log3x C.y＝x D.y＝x 6.（2025-2026·广东深圳高二下期末）已知，，，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 7.（2025-2026·河南南阳高二下期末）已知则（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·河北沧州高二下期末）已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·福建三明高一下期中）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（） A. B. C. D. 10.（2025-2026·黑龙江哈尔滨高一上期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（） A.疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B.随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C.估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D.根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 11.（2025-2026·山西长治高一上期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（） A. B. C. D.函数有8个零点 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·河南南阳高二下期末）                   ． 13.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是                   . 14.（2025-2026·海南海口高一上期末）已知函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是                   . 四、解答题（共5小题） 15.退耕还林工程就是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划，有步骤地停止耕种，因地制宜地造林种草，恢复植被．某地区执行退耕还林以来，生态环境恢复良好，2025年1月底的生物量为到了4月底，生物量增长为．现有两个函数模型可以用来模拟生物量(单位：)与月份（单位：月）的内在关系，即且与． (1) 分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的解析式； (2)若测得2025年5月底生物量约为判断上述两个函数模型中哪个更合适． 16.（2025-2026·山东潍坊高一上阶段测试）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 17.（2024-2025·山东临沂高二下期末）已知函数是偶函数. (1)求； (2)设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 18.（2024-2025·黑龙江高二下期末）已知函数. (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 19.（2025-2026·浙江杭州高一上期中）已知函数． (1)当时，判断函数的奇偶性，并给出理由； (2)若函数为奇函数，求实数的值，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $