高中数学单元测试——第四章指数函数与对数函数（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学指数函数与对数函数单元复习较易卷，通过基础概念辨析、函数性质应用及实际问题建模，覆盖定义域、单调性、零点等核心知识点，适配单元巩固与数学眼光、思维、语言素养的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|定义域、指数函数定义等|如第1题考查定义域，第4题辨析指数函数概念，夯实基础| |多选题|3题18分|运算正误、零点判断等|如第9题运算错误辨析，第10题函数零点判断，强化辨析能力| |填空题|3题15分|函数值域、零点参数范围等|如第13题函数值域问题，第14题零点参数范围，提升灵活应用| |解答题|5题77分|实际问题建模、函数性质综合|如第16题年产量模型、18题洗衣液浓度问题，体现模型意识与应用能力，符合真题命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（本题5分）已知，，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 二、多选题 9．（本题6分）以下运算错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 11．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）_______． 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 14．（本题5分）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 四、解答题 15．（本题13分）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 3．（本题5分）已知，，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将条件式两边取对数，比较可得，求出答案. 【详解】由，可得，又， ，解得. 故选：A. 4．（本题5分）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 5．（本题5分）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【详解】设（且），则， 解得，故. 故选：D 6．（本题5分）已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案. 【详解】由为指数函数得，解得， 又且，故， 所以函数，令得，此时， 所以函数的图象过定点. 故选：A 7．（本题5分）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 8．（本题5分）设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据反函数的性质，解得直线的位置关系，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）以下运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数的运算法则来进行判断，根据可以判断ABC，通过可以判断D选项 【详解】根据对数的运算，从而判断A，C都错误，，从而判断B错误，，从而判断D正确. 故选：ABC 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 【答案】AC 【分析】根据零点存在性定理，结合函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，因为函数在内连续，且， 所以函数在内有零点，所以A正确； 对于B，函数，令，则或，所以函数的零点是，所以B错误； 对于C，作函数与的图象，可知，当时，函数与的图象有且只有一个交点. 当时，函数与的图象有两个交点，分别为. 所以函数有三个不同的零点. 所以C正确；    对于D，因为，根据用二分法求函数在区间内的零点近似值方法，知零点近似值在内，又，零点近似值在上，所以D错误. 故选：AC. 11．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出的关系式，利用基本不等式判断A；利用指数函数的性质判断B；利用对数函数的性质判断C；利用基本不等式中1的妙用判断D． 【详解】∵，∴， 则分别为函数与图象交点的横坐标， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 在同一坐标系中画出与的图象，如图， 由图可知，点与关于直线对称， 直线与的交点坐标为， 于是得， ∴，A正确； ∵，∴，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）_______． 【答案】5 【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式进行运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：5 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得. 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 即， 解得； （2）由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围． 【详解】（1）函数的定义域为R，因为函数为偶函数． 所以，即， 所以，所以； （2）因为函数与图象有2个公共点， 所以， 即，， 设，则，即. 又在R上单调递增，所以方程有两个不等的正根； 所以，解得， 所以a的取值范围为． 18．（本题17分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 【答案】(1) (2)12分钟 (3)能持续有效去污，理由见解析 【分析】（1）利用所给函数，令，解出即可得； （2）分及讨论即可得； （3）当时，计算的最小值是否大于即可得. 【详解】（1）由， 则当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升时， 可得，即，解得； （2）由题意可得，则， 则当时，由，解得，即， 当时，由，解得，即， 综上所述，得，即有效去污时间可达12分钟； （3）则当时， ， 当且仅当时，等号成立， 即9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污. 19．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由题可得，据此可得解析式；然后取，，证明 即可； （2）由（1）分析结合题意可得，解不等式可得答案； （3）由（1）分析可得等价于，则的范围为函数在上的值域，然后令，研究函数值域可得答案. 【详解】（1）因是R上的奇函数， 则.则. 取，，. 因，，则，，. 从而，则在R上单调递增； （2），结合（1）分析，可得： . 或， 则； （3）在上有解，由（1）分析可知等价于： ， 则的范围为函数在上的值域. 令，则.令. ，得其在上单调递减，在上单调递增. 则，. 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $