第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2.下列四组函数中，与表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3.设函数，若是奇函数，则（ ） A. B. C. D.2 4.下列函数中，值域是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 5.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6.函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 7.已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 已知，则 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 已知函数，其中a、b为常数，若，则 10.已知定义在上的函数满足，当时，，，则下面有关结论正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 11. 设为实数，已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是偶函数 B. 当时，的最小值为 C. 若在上单调递减，则的取值范围为 D. 若存在，对于任意的，则的可能值共有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______. 13.已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________. 14. 已知函数，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在“①奇函数；②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个评分） 已知函数为定义在上的______，当时，. （1）求函数的表达式； （2）求作函数的图象； （3）求函数的值域. 16.已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2），解关于的不等式：； （3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围. 17.设为实数，已知函数为上的偶函数. （1）求的值； （2）设函数. ①用定义证明：在上单调递增； ②解关于x的不等式. 18.设为实数，已知函数. （1）若是上的单调函数，求的取值范围； （2）已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 19.俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【解析】由，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A 2.下列四组函数中，与表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由函数相等的充要条件逐一判断各个选项即可得解. 【解析】对于A，，对应法则不同，故A错误； 对于B，的定义域分别为，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域分别为，定义域不同，故C错误； 对于D，的定义域均为，且，即对应法则相同，故D正确. 故选：D. 3.设函数，若是奇函数，则（ ） A. B. C. D.2 【答案】C 【分析】根据函数解析式及奇函数的性质得解. 【解析】因为， 所以， 又因为是奇函数，所以， 即，所以， 故选：C 4.下列函数中，值域是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【解析】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 5.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【解析】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 6.函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案． 【解析】函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以． 故选：A 7.已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性求解出解集. 【解析】因为任意的，都有，即任意的，都有， 令，所以任意的，都有， 所以为上的减函数； 又因为， 所以，解得，所以不等式解集为， 故选：B. 8.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】依题意，函数的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出，则问题转化为方程有解，参变分离结合基本不等式的性质计算即可. 【解析】由“隐对称点”的定义可知， 函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则，即 ， 所以， 故函数的图象与的图象有3个交点， 如图①所示，， 当时，，即有两个交点，如图②所示， 且，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，即有一个交点， 因为函数在单调递增，即, 综上所示， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 已知，则 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 已知函数，其中a、b为常数，若，则 【答案】BD 【分析】根据函数单调性求值域判断A，换元法得到函数解析式判断B，根据抽象函数的定义域求法判断C，构造函数，判断奇偶性并求出函数值.判断D. 【解析】由函数知，且为增函数，所以， 值域为，故A错误； 令得，， 故，故，故B正确； 由的定义域为，则，所以的定义域为，故C错误； 函数的定义域为R，令， 则，函数是奇函数， 因此，而， 所以，故D正确. 故选：BD 10.已知定义在上的函数满足，当时，，，则下面有关结论正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【分析】A选项，令，由，可求；B选项，令，得，令得，可得为奇函数；C选项，令，，且，得出即可；D选项，，由，得. 【解析】A选项，中，令得，， 又，故，故A正确； B选项，中，令，得，解得， 中，令得， 即，故为奇函数，B正确； C选项，中，令，，且， 故，即， 当时，，故，即， 故在上单调递增，C错误； D选项，，， 当时，，，故， 又在上单调递增，，所以，D正确. 故选：ABD． 11. 设为实数，已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是偶函数 B. 当时，的最小值为 C. 若在上单调递减，则的取值范围为 D. 若存在，对于任意的，则的可能值共有2个 【答案】ABC 【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断A；分类去绝对值符号，结合图象可求得最小值判断B；利用单调性求得判断C；由关于对称可知函数图象具有对称性求出的值判断D. 【解析】若，则， 所以，故A对； 若，则，如图： 故，故B正确； 在上，若，则，使函数在单调递减，则即，又，所以，故C正确； 若，则关于对称，所以由C可知与均能满足题意， 此外由B可知要满足题意则中间部分必须水平， 所以或时，或要为0，即，共有3个，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】当，符合题意，当，列不等式组，解不等式即可得出答案. 【解析】当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13.已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数作出图象，结合图象性质分析即可得结论. 【解析】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 又因为关于的方程恰有两个不同的实数根， 结合图象可得或. 故答案为：或. 14. 已知函数，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性求出，再结合恒成立的不等式分离参数求出范围. 【解析】函数，分别是上偶函数，奇函数，由， 得，即， 解得，对于任意，， 则，而，，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在“①奇函数；②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个评分） 已知函数为定义在上的______，当时，. （1）求函数的表达式； （2）求作函数的图象； （3）求函数的值域. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质，求函数解析式； （2）由已知函数解析式，列表描点，结合奇偶性的性质，可得答案； （3）根据函数图象，结合函数的值域定义，可得答案. 【解析】（1）选①： 由，则，即，由是奇函数，则， 所以当时，，可得. 选②： 由，则，即，由是偶函数，则， 所以当时，，可得. （2）当时，由，则可得下表： 选①： 选②： . （3）选①： 由（2）可知的值域为. 选②： 由（2）可知的值域为. 16.已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2），解关于的不等式：； （3）当时，恒成立，试确定实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）原不等式等价于，进一步确定的范围即可得解. （3）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）由题意，函数是 二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）， 因为，所以或， 所以若，则关于的不等式：的解集为. （3）因当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 17.设为实数，已知函数为上的偶函数. （1）求的值； （2）设函数. ①用定义证明：在上单调递增； ②解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【分析】（1）由偶函数的定义求解参数即可； （2）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式即可. 【解析】（1）， 由偶函数的定义得， 解得； （2）由（1）得， ①任取，且， 所以 因为，且，所以且， 所以，即， 因此在上单调递增； ②因为，所以为奇函数，由①可知在单调递增， 因此由，可得，进而有， 所以得，即，此外由定义域得，解得， 综上不等式的解集为 18.设为实数，已知函数. （1）若是上的单调函数，求的取值范围； （2）已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）①；②14 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【解析】（1）因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. （2）当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，，， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 19.俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3）时，函数与的“偏差”取最小值. 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【解析】（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $