高中数学单元测试——第三章函数的概念与性质（较难版01）

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域（题2）、单调性（题4）|基础概念辨析，强化数学抽象| |多选题|3/18|函数图象判断（题9）、奇偶性（题11）|多维度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|函数值域（题12）、最值（题13）|简洁设问，提升运算能力| |解答题|5/77|实际情境建模（题16小微企业利润）、新定义函数（题19）|综合应用，体现数学建模与创新意识，适配高考新定义题型趋势|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】自变量代入解析式求函数值. 【详解】由已知. 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【详解】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 5．（本题5分）已知是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 6．（本题5分）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 8．（本题5分）已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质，逐项分析即可. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得 或，故A正确； 对于B，当或时， 或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，是增函数， 当时，不是减函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有， 所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D. 【详解】因为是奇函数，所以，故A正确； 因为，所以的定义域中肯定没有元素，故B错误； 由是奇函数，是偶函数， 可得：， ， 两式相减得：， 所以，解集为，故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 13．（本题5分）设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性直接计算. 【详解】由已知函数为奇函数， 则函数关于点中心对称， 又当时，，， 所以此时， 即函数关于点中心对称， 所以两函数的交点也关于点中心对称， 即，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 【答案】(1)，非奇非偶函数 (2) 函数是偶函数，. 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可； （2）根据偶函数单调性的性质，结合单调性的定义进行求解即可. 【详解】（1）设该幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象过点， 所以，显然该幂函数的定义域为非负实数集， 所以该幂函数是非奇非偶函数； （2）是上的增函数，理由如下： 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以是上的增函数， ， 因为， 所以函数是偶函数， 所以，， 因为，是上的增函数， 所以. 16．（本题15分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 17．（本题15分）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的定义域和列出不等式组即可求解； （2）结合条件求出的奇偶性和单调性，利用性质求解函数不等式. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以有， 即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得， 即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ， 解得，即不等式的解集为． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)图象见解析，增区间为 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，即可求解； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据函数的单调区间，结合函数在区间上具有单调性，分离讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的偶函数，且当时，， 当时，函数的图象，如图所示， 结合函数的图象， 可得函数的单调递增区间为.    （2）证明：任取且， 则， 因为且，可得且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上为单调递减函数. （3）由（1）中，函数的图象， 可得函数的单调递减区间为，递增区间为， 要使得函数在区间上具有单调性， 若函数在区间上单调递减，则满足或， 解得或； 若函数在区间上单调递增，则满足或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 6．（本题5分）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A．或 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 13．（本题5分）设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 16．（本题15分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 17．（本题15分）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $