第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（5分）（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 5．（5分）（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 7．（5分）（24-25高一上·安徽六安·期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域为 D．函数在上的值域为 10．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 11．（6分）（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 13．（5分）（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则 ． 14．（5分）（24-25高一上·宁夏银川·期末）设是定义在上的偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，设． (1)若的定义域是，求函数定义域； (2)若，求函数解析式． 16．（15分）（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 17．（15分）（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（17分）（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 19．（17分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助定义域的性质计算即可. 【解答过程】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（5分）（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 3．（5分）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义域即可判断选项A和选项B；化简函数的解析式，再结合其定义域即可判断选项C和选项D． 【解答过程】对于选项A，由，解得，所以的定义域为， 又，解得或，所以的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误； 对于选项B，由的定义域为，而的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，由， 所以与的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，由，且定义域为， 又定义域为，所以与的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正确． 故选：D． 4．（5分）（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【解题思路】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象. 【解答过程】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在 R 上的偶函数，且对任意都有 则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【解答过程】因为函数为定义在上的偶函数， 所以， 因为对任意 都有， 即有在上单调递减， 所以， 故选：D. 6．（5分）（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【解答过程】解：因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一上·安徽六安·期末）已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对称性可得单调性，由此可将恒成立的不等式化为，根据二次函数图象讨论的方法可构造不等式组求得结果. 【解答过程】为偶函数，，关于直线对称， 又在上是增函数，在上是减函数， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当，即时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【解题思路】推导出函数是周期函数，可推导出函数为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数在上的解析式，结合函数的单调性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，恒成立， 则，故， 故函数是周期为的周期函数， 对于A选项，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则， 当当时，，则，， 所以，，A对； 对于B选项，由A选项可知，B对； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的图象关于直线对称， 又因为， 所以，，故函数的图象关于点对称， 因此，函数的图象既有对称轴又有对称中心，C对； 对于D选项，当时，，，， 则， ， 此时，， 所以，函数在区间上不是减函数，D错. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域为 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【解题思路】根据抽象函数定义域与函数括号内的范围一致即可判断A；对函数进行分离常数的变形即可判断B；根据具体函数的定义域可判断C；根据二次函数在闭区间上的值域可判断D. 【解答过程】对于A，若函数的定义域为，对于函数， 则有，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，由于， 所以，故B错误； 对于C，要使函数有意义，则有且， 所以函数的定义域为，故C正确； 对于D，，，， 所以函数在上的值域为，故D错误. 故选：AC. 10．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【解题思路】根据图象可判断与的单调性和奇偶性，即根据奇偶性的定义和单调性的定义求解AC；举反例即可求解B；根据函数图象的变化趋势，结合奇偶性可判断D. 【解答过程】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与x轴交于点，与y轴交于点， 由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于，的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于，即的值可以取到， 又为奇函数，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【解题思路】A选项，令得到，再令得；B选项，令，且得，B正确；C选项，令得，C错误；D选项，两边加1得，由B知，在R上单调递增，故，参变分离的在上有解，求出的最大值为，所以. 【解答过程】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中，令得 ，故， 故不是奇函数，C错误； D选项，两边加1得 ， 因为，， 所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故， 在上有解， 在上有解， 其中， ，故当，即时，取得最大值， 最大值为，所以， 则取值范围是，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据题意知恒成立，再求解即可. 【解答过程】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则 ． 【答案】0 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的对称性及周期性，并求得，再利用周期性求出所求值. 【解答过程】由函数是定义域为的偶函数，得， 而不恒为0，则，， 又，则，即， 因此，函数是周期为4的周期函数， 由，得， 所以. 故答案为：0. 14．（5分）（24-25高一上·宁夏银川·期末）设是定义在上的偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为 . 【答案】 【解题思路】分析函数的单调性，可得出，分、两种情况解原不等式，即可得出所求不等式的解集. 【解答过程】对任意的、，有， 不妨设，则， 所以函数在上为增函数， 又因为函数是定义在上的偶函数， 则该函数在上为减函数，且， 所以， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，设． (1)若的定义域是，求函数定义域； (2)若，求函数解析式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由抽象函数定义域求法可知，解得，即可求得函数定义域为； （2）利用方程组法求得函数的解析式为，代入计算可得. 【解答过程】（1）根据题意，由的定义域是可得， 解得， 即函数定义域为. （2）由可知， 将替换上式中的可得， 联立两式消去可得， 所以可得 ， 即函数解析式为. 16．（15分）（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【解题思路】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【解答过程】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 17．（15分）（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【解题思路】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 18．（17分）（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【解题思路】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性； （2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性； （3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式. 【解答过程】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 19．（17分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【解题思路】（1）根据题目中中心对称图形的性质结合奇函数的定义列式求解即可； （2）利用函数单调性的定义判断即可； （3）根据题意可得函数在上的值域为在上的值域的子集，原问题转化为在上的值域，根据二次函数的图象和性质结合对称性分类讨论的单调性，进而求出在上的值域列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）方法一：设函数图象的对称中心为， 则由题意得， 即， 整理得， 所以，解得， 所以图象的对称中心为. 方法二：设函数图象的对称中心为， 因为的定义域为，所以， 则由题意可知为奇函数， 设， 则，即，解得． 则，经检验是奇函数，所以， 所以函数图象的对称中心为. （2）函数在上单调递增 （证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以且， 所以，即， 所以函数在上单调递增．） （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故在上的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 由二次函数的图象和性质可知当，即时，在上单调递增， 又，所以函数的图象恒过对称中心， 所以在上也单调递增，故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 因为的图象过对称中心，所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 欲使，只需且， 解得，又因为，所以， 当，即时，在上单调递减，在上也单调递减， 所以在上单调递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得，实数的取值范围是． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $