高中数学单元测试——第三章函数的概念与性质（较易版02）

**基本信息** 高中数学第三章函数概念与性质单元复习卷（较易版），聚焦函数定义域、奇偶性、单调性等核心知识，通过基础巩固与情境应用题，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域（第2题）、函数相等（第3题）、二次函数单调性（第4题）|基础概念辨析，强化数学抽象| |多选题|3/18|函数图象判断（第9题）、幂函数性质（第10题）|多角度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|函数值域（第12题）、奇函数性质（第14题）|简洁设问，提升运算能力| |解答题|5/77|幂函数解析式与单调性（第15题）、阶梯水价模型（第16题）、函数性质探究（第19题）|结合实际情境（阶梯水价）培养模型意识，探究性问题（性质P）发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 4．（本题5分）已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴与端点值的比较得到不等式，求出取值范围. 【详解】的对称轴为， 要想函数在区间上单调，则或， 解得或. 故选：A 5．（本题5分）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 6．（本题5分）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 8．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】由函数的定义可知，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值， 对于A：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于B：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 对于C：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于D：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 故选：BD． 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 【答案】AD 【分析】根据幂函数得出参数判断A，B，应用特殊值法结合单调性判断C，应用特殊值法结合抛物线性质判断D. 【详解】由函数，则若函数是幂函数， 则，所以或， 当时，是单调递增的幂函数，A选项正确； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，B选项错误； 当时，定义域为， ，，所以在定义域上不具有单调性，C选项错误； 当且，即时，图象是开口向下的抛物线，D选项正确； 故选：AD. 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D. 【详解】因为是奇函数，所以，故A正确； 因为，所以的定义域中肯定没有元素，故B错误； 由是奇函数，是偶函数， 可得：， ， 两式相减得：， 所以，解集为，故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为_______． 【答案】 【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案. 【详解】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 13．（本题5分）已知函数在处取得最小值，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】结合函数的单调性和最小值定义求解即可. 【详解】当时，单调递减，当时，单调递增， 因为在处取得最小值，所以，解得，故的取值范围是． 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性直接计算. 【详解】由已知函数为奇函数， 则函数关于点中心对称， 又当时，，， 所以此时， 即函数关于点中心对称， 所以两函数的交点也关于点中心对称， 即，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 【答案】(1)，非奇非偶函数 (2) 函数是偶函数，. 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可； （2）根据偶函数单调性的性质，结合单调性的定义进行求解即可. 【详解】（1）设该幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象过点， 所以，显然该幂函数的定义域为非负实数集， 所以该幂函数是非奇非偶函数； （2）是上的增函数，理由如下： 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以是上的增函数， ， 因为， 所以函数是偶函数， 所以，， 因为，是上的增函数， 所以. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 17．（本题15分）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的定义域和列出不等式组即可求解； （2）结合条件求出的奇偶性和单调性，利用性质求解函数不等式. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以有， 即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得， 即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ， 解得，即不等式的解集为． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)图象见解析，增区间为 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，即可求解； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据函数的单调区间，结合函数在区间上具有单调性，分离讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的偶函数，且当时，， 当时，函数的图象，如图所示， 结合函数的图象， 可得函数的单调递增区间为.    （2）证明：任取且， 则， 因为且，可得且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上为单调递减函数. （3）由（1）中，函数的图象， 可得函数的单调递减区间为，递增区间为， 要使得函数在区间上具有单调性， 若函数在区间上单调递减，则满足或， 解得或； 若函数在区间上单调递增，则满足或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用解方程去判断是否存在，即可说明理由； （2）利用方程解的存在性，再去讨论区间的端点范围即可； （3）利用分类讨论去排除的可能性，从而去讨论时方程解的存在性,即可作出判断. 【详解】（1）假设函数在区间上是具有性质， 则存在，使得，且， 解得：，满足，使得， 故函数在区间上是具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以存在，使得，且 ， 解得，因为，所以， 又因为，所以， 所以正整数m的最小值为； （3）作出函数图象： 当时，， 当时，存在，使得， 则必有，此时，而此时，必有， 则不可能成立，所以， 当时，假设存在，使得， 此时由可得：，解得， 此时存在，使得成立，故的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（本题5分）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 6．（本题5分）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．可能是单调递增的幂函数 B．可能是单调递减的幂函数 C．当m为偶数时，在定义域上一定具有单调性 D．的图象可能是开口向下的抛物线 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为_______． 13．（本题5分）已知函数在处取得最小值，则的取值范围是_______ 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 17．（本题15分）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 19．（本题17分）已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $