高中数学单元测试——第三章函数的概念与性质（适中版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第三章函数的概念与性质单元复习卷，覆盖函数定义、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础题与综合应用题梯度设计，培养数学抽象、推理及应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求值、定义域、同一函数判断|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选题|3/18|函数图象、幂函数性质、奇函数性质|多角度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|最大值函数、方程解问题|抽象问题转化，提升数学思维| |解答题|5/77|幂函数、利润函数模型、函数性质综合|结合经济情境，强化模型意识与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C. 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 4．（本题5分）若函数在上是单调函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象性质即可求解. 【详解】∵函数的图象是开口向上，且以为对称轴的抛物线， ∴此函数在上单调递减， 要满足此函数在上单调，只需，解得． 故选：D. 5．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据奇函数性质可得，再结合奇函数的定义运算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得， 可得当时，， 所以. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值. 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 8．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的定义及定义域与值域的概念直接判断. 【详解】A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图象， 由函数的定义可知，选项B，C正确． 故选：BC 10．（本题6分）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 11．（本题6分）若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 【答案】ABD 【分析】对于A，由奇函数的性质即可得解；对于B，运用函数的奇偶性即可得解；对于C，运用对勾函数的单调性即可得解；对于D，由与在上单调递增，再结合的奇偶性，即可判断. 【详解】对于A：因为函数为奇函数，且定义域为，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：当时，，，故B正确； 对于C：当时，由对勾函数图象的性质得，的单调递增区间为和，故C错误； 对于D：当时，对于，易知与在上单调递增， 故在上单调递增， 进一步由奇函数的图象关于原点对称，在区间上也单调递增，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分， 如图，函数的最低点为， 由，解得或，即， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 13．（本题5分）已知，方程有4个实数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】转化成曲线和直线图像的交点问题即可. 【详解】    画出的图像，找到与直线的交点边界，如图所示； 曲线和直线有四个交点即可，由图像可知的取值范围是， 故答案为： 14．（本题5分）已知，若对一切实数，均有，则_____. 【答案】 【分析】分析可得，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】由，可得或，则， 对一切实数，均有，则函数的图象关于直线对称， 所以，，， 所以，，解得， 所以，， 则， 合乎题意， 因此，. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象过点. (1)求的表达式，并写出其单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递减区间为和，无单调递增区间 (2) 【分析】（1）设出幂函数解析式，代入坐标可求解析式，再写出单调区间即可； （2）先判断出自变量范围，再结合单调性列出不等式组，由此可求结果. 【详解】（1）设，代入，则，解得， 所以，单调递减区间为和，无单调递增区间； （2）由可知，又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 16．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 17．（本题15分）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的定义域和列出不等式组即可求解； （2）结合条件求出的奇偶性和单调性，利用性质求解函数不等式. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以有， 即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得， 即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ， 解得，即不等式的解集为． 18．（本题17分）已知函数，函数为奇函数． (1)求实数的值及的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使的实数的取值范围． 【答案】(1)，，定义域为． (2) 在单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即，故在区间上单调递增． (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数，进而求出的解析式即可. （2）利用定义法求解函数的单调性即可. （3）对给定的不等式合理变形，进而求解的取值范围即可. 【详解】（1）记， 由条件知对任意成立， 可得，解得， 则， 故，定义域为． （2）略 （3）由，解得， 可得， 而， 则等价于， 故实数的取值范围是． 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由见解析. (3) 【分析】（1）由题意得对任意都成立，将条件代入解析式，整理计算，即可得答案. （2）由题意，需存在，使得，根据解析式，代入求解，可得，分析即可得答案. （3）设，由题意，需存在，使成立，分别讨论、和三种情况，分别求出解析式，令，根据对勾函数的性质，求得m范围，分析即可得答案. 【详解】（1）的定义域为R，由题意得对任意都成立， 所以， 展开整理得：， 即，所以，解得. （2）函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由如下： 关于y轴对称，即，需存在，使得， 由，则， 所以，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形. （3）设，由题意，需存在，使成立， 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以 ，令，，则， 所以， 令，根据对勾函数的性质可得在单调递增， 所以，所以即可； 当时，，， 令，得，解得，不符合题意； 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以，因为在单调递增， 所以，所以即可； 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）若函数在上是单调函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．18 D．20 6．（本题5分）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 8．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 11．（本题6分）若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 三、填空题 12．（本题5分）定义为，，中的最大值，设，则的最小值为________． 13．（本题5分）已知，方程有4个实数解，则的取值范围是__________. 14．（本题5分）已知，若对一切实数，均有，则_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象过点. (1)求的表达式，并写出其单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 16．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（本题15分）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 18．（本题17分）已知函数，函数为奇函数． (1)求实数的值及的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使的实数的取值范围． 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $