高中数学单元测试——第二章一元二次函数、方程和不等式（较难版02）

**基本信息** 高中数学第二章“一元二次函数、方程和不等式”较难版单元卷，通过基础辨析、综合应用及数学文化情境，适配单元复习，提升学生运算推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集求解|基础概念辨析，如不等关系判断| |多选题|3/18|充要条件、基本不等式|多选项设计考查逻辑推理，如第11题结合整数解| |填空题|3/15|实际应用（销售问题）、最值|情境化设题，如第12题建立收入不等式模型| |解答题|5/77|解不等式、证明、利润函数、韦达定理|综合应用与数学文化融合，如第17题构建利润函数求最值，第19题结合韦达定理历史背景考查根与系数关系|

高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可得出判断． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D错误； 故选：A． 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 3．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将不等式转化为，利用一元二次不等式的解法即可得到答案. 【详解】即，化简为，即， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A. 5．（本题5分）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式对应方程的根并判断大小，再求出不等式的解集. 【详解】由，得，不等式化为， 而方程的二根为或，又，即， 所以原不等式的解集为. 故选：C 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定，结合不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则有， 所以，即， 所以. 故选：B 7．（本题5分）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先化简变形再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 11．（本题6分）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 13．（本题5分）若，为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】由题知，， 当时，即时，的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 【答案】(1) (2)22或37． (3)，，． 【分析】（1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. 【详解】（1）由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． （2）由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ①当，时，； ②当，时，， 所以的值为22或37． （3）由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（本题5分）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 11．（本题6分）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 13．（本题5分）若，为正数，且，则的最小值为______. 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 四、解答题 15．（本题13分）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $