第3章 不等式（举一反三单元自测·培优卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 苏教版高一上第3章不等式单元培优卷，19题覆盖不等式性质、解法、最值及实际应用，梯度设计合理，能有效检测知识掌握与数学思维发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、二次函数图像|结合具体数值比较，基础巩固| |多选|3/18|不等式命题判断、解集分析|考查逻辑推理，部分选对给分| |填空|3/15|参数范围、整数解、实际应用|如栅栏问题，体现模型意识| |解答|5/77|比较大小、恒成立、均值定理|含证明与实际应用，综合提升运算与推理能力|

第3章 不等式（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（5分）（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（   ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 7．（5分）（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 8．（5分）（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·云南昆明·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（6分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 11．（6分）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为_________. 13．（5分）（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是_________. 14．（5分）（25-26高一上·上海浦东新·期末）某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要_________米栅栏. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 16．（15分）（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 17．（15分）（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 18．（17分）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 19．（17分）（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质判断即可. 【解答过程】选项A：令，，，，则，，不满足，A错误. 选项B：因为，所以，所以，即，B错误. 选项C：因为，所以，又，所以，即，所以，C正确. 选项D：因为，所以，又，所以，D错误. 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【解答过程】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A. 4．（5分）（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（5分）（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 6．（5分）（25-26高一上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（   ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【解题思路】由二次函数图象开口、对称轴、特殊点及与坐标轴的交点个数，即可判断. 【解答过程】由图象得：图象的开口向上，所以， 图象的对称轴在轴的右侧，所以， 又图象与轴的交点在负半轴，所以， 所以，故①错误； 从图象观察得，当时，，所以， 又，所以，代入得， 所以成立，故②正确； 当时，，所以，即， 又，所以，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 【答案】A 【解题思路】把变成，再根据均值不等式即可求出. 【解答过程】因为，所以， 又，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 8．（5分）（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【解题思路】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【解答过程】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·云南昆明·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【解题思路】AC选项，举出反例；B选项，先得到，利用不等式性质可得；D选项，作差法比较大小. 【解答过程】A选项，若，，则，A错误； B选项，若，则，则，则两边同乘以得，B正确； C选项，若，则，C错误； D选项，， 因为，，所以，故， 所以，D正确. 故选：BD. 10．（6分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【解题思路】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【解答过程】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解题思路】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【解答过程】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为_________. 【答案】 【解题思路】利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可. 【解答过程】令， 则， 因为，， 所以，， 则上两式相加得：， 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是_________. 【答案】或 【解题思路】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【解答过程】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 14．（5分）（25-26高一上·上海浦东新·期末）某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要_________米栅栏. 【答案】12 【解题思路】设矩形的两条相邻边长分别为，根据题意知，利用基本不等式可求得的最小值，即栅栏的最少米数. 【解答过程】设矩形区域与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长为米 ，则. 由题可知. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为，即最少需要12米栅栏. 故答案为12. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解题思路】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 16．（15分）（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．（15分）（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18．（17分）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 19．（17分）（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【解题思路】（1）应用解不含参的一元二次不等式求法求解集； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集； （3）问题化为在上恒成立，应用换元法及基本不等式求右侧的最小值，即可得范围. 【解答过程】（1）由题设，可得或， 所以原不等式的解集为； （2）由题设， 当时，不等式的解集是或， 当时，不等式的解集是， 当时，不等式的解集是或， 综上： 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或； （3）在上 恒成立，即， 令，则， 当且仅当时取等号，则， 故实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $